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Re: [obm-l] Divisibilidade
ol� nao tenho o 17 aqui mas vai os que eu tenho
Crit�rios de divisibilidade
Para alguns n�meros como o dois, o tr�s, o cinco e outros, existem regras
que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divis�o. Essas
regras s�o chamadas de crit�rios de divisibilidade.
Divisibilidade por 2
Um n�mero natural � divis�vel por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou
6, ou 8, ou seja, quando ele � par.
Exemplos:
1) 5040 � divis�vel por 2, pois termina em 0.
2) 237 n�o � divis�vel por 2, pois n�o � um n�mero par.
Divisibilidade por 3
Um n�mero � divis�vel por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus
algarismos for divis�vel por 3.
Exemplo:
234 � divis�vel por 3, pois a soma de seus algarismos � igual a 2+3+4=9, e
como 9 � divis�vel por 3, ent�o 234 � divis�vel por 3.
Divisibilidade por 4
Um n�mero � divis�vel por 4 quando termina em 00 ou quando o n�mero formado
pelos dois �ltimos algarismos da direita for divis�vel por 4.
Exemplo:
1800 � divis�vel por 4, pois termina em 00.
4116 � divis�vel por 4, pois 16 � divis�vel por 4.
1324 � divis�vel por 4, pois 24 � divis�vel por 4.
3850 n�o � divis�vel por 4, pois n�o termina em 00 e 50 n�o � divis�vel por
4.
Divisibilidade por 5
Um n�mero natural � divis�vel por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 � divis�vel por 5, pois termina em 5.
2) 90 � divis�vel por 5, pois termina em 0.
3) 87 n�o � divis�vel por 5, pois n�o termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6
Um n�mero � divis�vel por 6 quando � divis�vel por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 � divis�vel por 6, porque � divis�vel por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 � divis�vel por 6, porque � divis�vel por 2 (par) e por 3 (soma:
12).
3) 716 n�o � divis�vel por 6, (� divis�vel por 2, mas n�o � divis�vel por
3).
4) 3405 n�o � divis�vel por 6 (� divis�vel por 3, mas n�o � divis�vel por
2).
Divisibilidade por 8
Um n�mero � divis�vel por 8 quando termina em 000, ou quando o n�mero
formado pelos tr�s �ltimos algarismos da direita for divis�vel por 8.
Exemplos:
1) 7000 � divis�vel por 8, pois termina em 000.
2) 56104 � divis�vel por 8, pois 104 � divis�vel por 8.
3) 61112 � divis�vel por 8, pois 112 � divis�vel por 8.
4) 78164 n�o � divis�vel por 8, pois 164 n�o � divis�vel por 8.
Divisibilidade por 9
Um n�mero � divis�vel por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus
algarismos for divis�vel por 9.
Exemplo:
2871 � divis�vel por 9, pois a soma de seus algarismos � igual a 2+8+7+1=18,
e como 18 � divis�vel por 9, ent�o 2871 � divis�vel por 9.
Divisibilidade por 10
Um n�mero natural � divis�vel por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 � divis�vel por 10, pois termina em 0.
2) 2106 n�o � divis�vel por 10, pois n�o termina em 0.
Divisibilidade por 11
Um n�mero � divis�vel por 11 quando a diferen�a entre as somas dos valores
absolutos dos algarismos de ordem �mpar e a dos de ordem par � divis�vel por
11.
O algarismo das unidades � de 1� ordem, o das dezenas de 2� ordem, o das
centenas de 3� ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens �mpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 � divis�vel por 11, ent�o o n�mero 87549 � divis�vel por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens �mpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtra��o n�o pode ser realizada, acrescenta-se o menor m�ltiplo de
11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtra��o possa ser
realizada: 10+11 = 21. Ent�o temos a subtra��o 21-21 = 0.
Como zero � divis�vel por 11, o n�mero 439087 � divis�vel por 11.
Divisibilidade por 12
Um n�mero � divis�vel por 12 quando � divis�vel por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 � divis�vel por 12, porque � divis�vel por 3 (soma=9) e por 4 (dois
�ltimos algarismos, 20).
2) 870 n�o � divis�vel por 12 (� divis�vel por 3, mas n�o � divis�vel por
4).
3) 340 n�o � divis�vel por 12 (� divis�vel por 4, mas n�o � divis�vel por
3).
Divisibilidade por 15
Um n�mero � divis�vel por 15 quando � divis�vel por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 � divis�vel por 15, porque � divis�vel por 3 (soma=6) e por 5
(termina em 5).
2) 324 n�o � divis�vel por 15 (� divis�vel por 3, mas n�o � divis�vel por
5).
3) 530 n�o � divis�vel por 15 (� divis�vel por 5, mas n�o � divis�vel por
3).
Divisibilidade por 25
Um n�mero � divis�vel por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25,
50 ou 75.
----- Original Message -----
From: "Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, June 27, 2003 11:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
> Qto a 2a pergunta, usando qq m�ltiplo do mmc, em particular, o produto dos
> n�meros...
>
> ~qto a primeira n�o me lembro exatamente qual o crit�rio de divisibilidade
> por 17, mas todos os crit�rios podem ser demonstrados, normalmente sem
gdes
> problemas, olhando-se para as classes residuais> nesse caso, devemos olhar
> m�dulo 17...
>
> Frederico.
>
>
>
> >From: Denisson <drmatematica@yahoo.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] Divisibilidade
> >Date: Fri, 27 Jun 2003 01:32:38 -0300 (ART)
> >
> >Algu�m poderia demonstrar como se chegou aos crit�rios de divisibilidade?
> >Em especial aos mais dificeis como o crit�rio do 17. N�o pe�o uma
> >demonstra��o matem�tica formal, pe�o algum argumento l�gico.
> >
> >Foi dito tb na lista h� um bom tempo que n�o � preciso tirar o MMC para
se
> >realizar uma soma de fra��es. Eu nunca havia pensado nisso, como posso
> >somar duas fra��es como 2/5+1/8 sem tirar o mmc?
> >
> >Obrigado
> >
> >Denisson
> >
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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