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Oi, Jorge:
No primeiro problema, com A(0,4) e B(2,3), o
coeficiente angular de AB é (3 - 4)/(2 - 0) = -1/2
O diâmetro perpendicular a AB (e, portanto, às duas
retas tangentes à circunferência que são paralelas a AB) terá coeficiente
angular = -1/(-1/2) = 2.
Como o diâmetro contém a origem (centro da
circunferência), a sua equação será:
y = 2x
Logo, os pontos de tangência terão abscissas
satisfazendo a:
x^2 + (2x)^2 = 5 ==>
x^2 = 1 ==>
x = 1 ou x = -1
==>
y = 2 ou y =
-2.
Logo, os pontos de tangência serão C1 = (1,2) e C2
= (-1,-2).
Naturalmente, o ponto mais próximo de AB será C1,
cuja abscissa é 1.
*****
Sobre o segundo problema, a resposta do seu livro
é:
x^2 + y^2 – 2x – 8y + 13 = 0
A circunferência original tinha
equação:
x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0
Subtraindo as duas equções, obtemos:
4x - 4y + 4 = 0, ou seja: y = x +
1.
Logo, a reta que passa pelos dois pontos de
interseção não pode ser y = x.
Assim, o seu gabarito está errado (não se preocupe,
não é a primeira vez que isso acontece aqui na lista e, infelizmente, acho que
não será a última).
Mesmo sem saber o que é "eixo radical", você pode
entender a solução do Artur (que, na minha opinião, é a melhor que poderia ser
dada pra este problema).
Basta reparar que se as duas circunferências são
secantes, então a corda comum é um eixo de
simetria da figura formada pelas duas circunferências.
Só que este eixo de simetria é justamente a reta y
= x. Logo, cada circunferência nada mais é do que a imagem da outra por uma
reflexão em torno de y = x.
Logo, as equações são obtidas uma da outra por uma
permutação das variáveis.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, May 27, 2003 12:43
AM
Subject: RE: [obm-l] Geometria
Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]
On Behalf Of Jorge Silva
Sent: Sunday, May 25, 2003 9:34 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject:
[obm-l] Geometria
Tenho 2 probleminhas aqui que a galera pode até
ri, mas o segundo ficou
trabalhosa a minha resolução e o primeiro eu
não sei.
1) Considere o triangulo ABC, onde A(0,4), B(2,3) e C
é um ponto
qualquer da circunferência x^2 + y^2= 5. Qual abscissa do
ponto C que
torna a área do triângulo ABC a menor
possível?
OBS: Eu pensei em achar a eq. da reta que passa por A
e B, tal que o
ponto C vai estar na intersecção da paralela a esta
reta AB, no qual
esta paralela é tangente a circunferência
------- Mas isso eu imaginei
(não consigo provar que com esse caso a
área é mínima) , estou falando
abo! brinha? Não consegui
continuar...
[Artur Costa Steiner]
Eh isso memo. Neste caso, a
altura do triangulo relativa a AB eh minima
e a a area eh minima. Mas
veja que hah dois pontos com tal
caracteristica, para um a area e minima
e para o outro e maxima.
2) Duas
circunferências de mesmo raio são secantes. A reta y=x contém os
pontos
em que elas se cortam. Sabendo-se que uma das circunferências tem
por eq.
x^2 + y^2 -6x-4y+9=0. Determine a eq. da outra.
[Artur
Costa Steiner]
A reta y=x eh o eixo radical das duas circunferencias.
Como elas tem o
mesmo raio, saop simetricas com relacao ao eixo radical,
a reta y=x.
Logo para obter a equacao da outra circunferencia basta
trocar a posicao
de x e de y, obtendo x^2 + y^2 -6y-4x+9=0
Um
abraco
Artur]
O
segundo exercício a resposta do livro é x^2 + y^2 – 2x – 8y + 13 = 0,
portanto não bateu a resposta, de acordo com seu método por simetria das
duas circunferências. No primeiro exercício como vou achar a eq da reta
paralela a AB, se eu só sei o coeficiente angular dela ( que é o mesmo da
reta AB)?[ Deveria?... montar um sistema com uma eq. da reta e com o da
circ. pois ela interceptará a circunferencia, mas aí ficaria bem trabalhoso,
tente fazer assim pra ver só.]
Como ficaria
então, colegas.?
Um abração Jorge Eduardo.
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