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1)
prove o caso n = 3,
suponha que (n+1)^n < n^(n+1) para 3 <= n <
k
(n+2)^(n+1) <
(n+1)^(n+2) <=>
[(n+2)-1]^(n+2) > (n+2)^(n+1)
<=>
soma{ i = 0..n-2 } [C(n+2,i) * (n+2)^i *
(-1)^(n+2-i)] + (n+2)^(n+2) - C(n+2, n+1)*(n+2)^(n+1) + C(n+2, n)*(n+2)^n -
C(n+2, n-1)*(n+2)^(n-1).
temos que C(n+2,i) * (n+2)^i < C(n+2,i+1) *
(n+2)^(i+1)
pois C(n+2,i+1) * (n+2)^(i+1) =
{[(n+2)(n+2-i)]/(i+1)} * C(n+2,i) * (n+2)^i e
{[(n+2)(n+2-i)]/(i+1)} > 1
temos então que soma{ i = 0..n-2 }
[C(n+2,i) * (n+2)^i * (-1)^(n+2-i)] > 0, basta verificar que para todo termo
negativo o termo seguinte é positivo e maior em módulo do que ele.
basta agora provar que
(n+2)^(n+2) - C(n+2, n+1)*(n+2)^(n+1) + C(n+2,
n)*(n+2)^n - C(n+2, n-1)*(n+2)^(n-1) > (n+2)^(n+1)
C(n+2, n+1)*(n+2)^(n+1) = (n+2)*(n+2)^(n+1) =
(n+2)^(n+2)
C(n+2, n)*(n+2)^n - C(n+2, n-1)*(n+2)^(n-1) =
(n+2)(n+1)/2 * (n+2)^n - (n+2)(n+1)n/6 * (n+2)^(n-1) =
(n+1)/2 * [(n+2)^(n+1) - [n(n+1)(n+2)^(n-1)]/3]
> (n+1)/2 [(n+2)^(n+1) - [(n+2)^(n+1)]/3] = [(n+1)(n+2)^(n+1)]/3
como n+1 > 4, temos a desigualdade
desejada...
pra ser sincero, essa não foi uma prova por indução
:-)
talvez tenha um jeito mais simples...
[ ]'s
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