[obm-l] RE: [obm-l] Indução Finita

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi amigos, gostaria que vocês me ajudasse nessas três questões de
indução:
 
1) Para n >= 3 mostre que (n+1)^n < n^(n+1)
   Para qualquer natural n, temos que [(n+1)^n]/[n^(n+1)] =[(n+1)^n]/[n.
n^n] = 1/n . [(n+1)/n]^n = 1/n [1+ 1/n]^n. Dentro dos colchetes temos a
classica sequencia que converge para o numero e, a qual sabemos ser
estritamente crescente.  Logo, para todo n temos que [(n+1)^n]/[n^(n+1)]
< 1/n e = e/n. Se n>=3, entao [(n+1)^n]/[n^(n+1)] < 1, pois e=
2,7182818...... Logo, para n>=3 temos (n+1)^n < n^(n+1), conforme
desejado.
 
2) Para n >= 2 mostre que 1 * 3 * 5 * ..... * (2n - 1) < n^n
Em virtude da desigualdade das medias aritmetica e geometrica, temos,
para n>=2, que  [1 * 3 * 5 * ..... * (2n - 1)]^(1/n) < [1 + 3 +...(2n
-1)]/n. (observe a desigualdade estrita, pois para n>=2 os numeros sao
diferentes).  No numerador do segundo membro, temos a soma dos n
primeiros impares, a soma de uma PA. Sabemos que esta soma eh n^2. Logo,
[1 * 3 * 5 * ..... * (2n - 1)]^(1/n) <n^2/n = n. Finalmente, 1 * 3 * 5 *
..... * (2n - 1) < n^n, conforme desejado.

Nao pude pensar agora nos outros dois, mas nesta lista hah grandes
especialista em Teoria dos numeros que o ajudarao. O problema 4 tem (ou
um parecido, no livro do Apostol) Eugostaria de ver a solucao, ainda nao
consegui.
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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