Re: [obm-l] Pontos pintados

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Gugu:

Acho que resolvi usando aritmetica em Z[i]:

Suponhamos que equacao diofantina:
y^3 = (x+1)^2 + x^2
tenha solucoes inteiras positivas.

Fatorando o lado direito (em Z[i]), teremos:
y^3 = (x + 1 + ix)(x + 1 - ix)

x eh inteiro positivo ==> mdc(x+1+ix,x+1-ix) = mdc(x+1+ix,2ix).
Mas mdc(x+1+ix,2ix) divide mdc(2(x+1),2ix) = 2mdc(x+1,ix) = 2.
 
Como x+1 e x tem paridades distintas, concluimos que:
mdc(x+1+ix,x+1-ix) = 1.

Logo, como Z[i] eh um dominio de fatoracao unica, existem inteiros a, b tais
que:

x + 1 + ix = (a + bi)^3  e  x + 1 - ix = (a - bi)^3 ==>

x + 1 = a^3 - 3ab^2
x = 3a^2b - b^3

Subtraindo: 1 = a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + b^3 ==>
1 = a^3 + b^3 - 3ab(a+b) ==>
1 = (a+b)^3 - 6ab(a+b) ==>
1 = (a+b)(a^2 - 4ab + b^2) ==>

a + b = 1  e  a^2 - 4ab + b^2 = 1
ou
a + b = -1  e  a^2 - 4ab + b^2 = -1

A primeira alternativa resulta em:
a^2 - 4a(1 - a) + (1 - a)^2 = 1 ==>
6a^2 - 6a = 0 ==>
(a = 0 e b = 1)   ou   (a = 1 e b = 0) ==>
x = -1  ou   x = 0 ==> nao servem (x tem que ser >= 1)

A segunda alternativa resulta em:
a^2 - 4a(-1 - a) + (-1 - a)^2 = 1 ==>
6a^2 + 6a = 0 ==>
(a = 0 e b = -1)   ou   (a = -1 e b = 0) ==>
(x = 1 e x+1 = 0)  ou   (x = -2 e x = 0) ==>
contradicao

Logo, concluimos que a equacao original nao tem solucoes inteiras positivas.

Um abraco,
Claudio.

on 27.04.03 02:06, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

> Caro Claudio,
> Suponha que em todo segmento unitario as extremidades tem cores
> distintas.Se X e Y estao a distancia raiz(3), e' possivel achar A e B no
> plano tais que os triangulos XAB e ABY sejam equilateros de lado 1. Assim,
> A e B tem cores distintas e diferentes da cor de X, donde a cor de Y deve
> ser igual a cor de X. Considere agora um triangulo XYZ com lados
> XY=XZ=raiz(3) e YZ=1. Temos que as cores de Y e de Z devem ser iguais a cor
> de X mas a cor de Y deve ser distinta da cor de Z, absurdo.
> Eu sei fazer o seu problema da equacao diofantina usando um pouco de
> aritmetica em Z[i]. Voce tem uma solucao que nao usa isso ?
> Abracos,
> Gugu
> 
> 
>> 
>> Caros colegas da lista:
>> 
>> Outro probleminha que estah me dando trabalho:
>> 
>> Cada ponto do plano eh pintado de uma cor, dentre tres cores possiveis.
>> Prove que existe um segmento unitario cujas extremidades tem a mesma cor.
>> 
>> ******
>> 
>> Uma equacao diofantina bonitinha:
>> 
>> Prove que x^2 + (x+1)^2 = y^3 nao tem solucao em inteiros positivos.
>> 
>> ******
>> 
>> E aqui vai a dica pro problema da sequencia de 100 numeros reais e das
>> subsequencias de 8 e 9 termos com mesma media: suponha inicialmente que os
>> termos da sequencia sao racionais. Em seguida, use o fato de que R eh um
>> espaco vetorial sobre Q.
>> 
>> Seria otimo se alguem descobrisse uma solucao que nao usasse a dica.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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