Re: [obm-l] Pontos pintados

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 27.04.03 02:06, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

> Caro Claudio,
> Suponha que em todo segmento unitario as extremidades tem cores
> distintas.Se X e Y estao a distancia raiz(3), e' possivel achar A e B no
> plano tais que os triangulos XAB e ABY sejam equilateros de lado 1. Assim,
> A e B tem cores distintas e diferentes da cor de X, donde a cor de Y deve
> ser igual a cor de X. Considere agora um triangulo XYZ com lados
> XY=XZ=raiz(3) e YZ=1. Temos que as cores de Y e de Z devem ser iguais a cor
> de X mas a cor de Y deve ser distinta da cor de Z, absurdo.
> Eu sei fazer o seu problema da equacao diofantina usando um pouco de
> aritmetica em Z[i]. Voce tem uma solucao que nao usa isso ?
> Abracos,
> Gugu
> 
> 
Oi, Gugu:

Entao, A e B pertencem a mediatriz do segmento XY e distam, cada um, de 1/2
do ponto medio de XY.

Z pertence a circunferencia de centro X e raio raiz(3).
 
Eu nao entendi por que as cores de Z e X devem ser iguais.

***

Na equacao diofantina eu estava procurando uma solucao por consideracoes de
congruencia, mas nao consegui achar. Vou tentar usar aritmetica Z[i] e ver
no que dah. Alias, tai um bom topico pra outro artigo da Eureka: o uso de
Z[i], Z[raiz(-2)], etc. na solucao de equacoes diofantinas. Este tipo de
equacao nao foi abordado no artigo do Antonio Caminha na Eureka 7.
 

Um abraco,
Claudio.
>> 
>> Caros colegas da lista:
>> 
>> Outro probleminha que estah me dando trabalho:
>> 
>> Cada ponto do plano eh pintado de uma cor, dentre tres cores possiveis.
>> Prove que existe um segmento unitario cujas extremidades tem a mesma cor.
>> 
>> ******
>> 
>> Uma equacao diofantina bonitinha:
>> 
>> Prove que x^2 + (x+1)^2 = y^3 nao tem solucao em inteiros positivos.
>> 
>> ******
>> 
>> E aqui vai a dica pro problema da sequencia de 100 numeros reais e das
>> subsequencias de 8 e 9 termos com mesma media: suponha inicialmente que os
>> termos da sequencia sao racionais. Em seguida, use o fato de que R eh um
>> espaco vetorial sobre Q.
>> 
>> Seria otimo se alguem descobrisse uma solucao que nao usasse a dica.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
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>> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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