RE: [obm-l] integral de 1/x

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

Na realidade, isto depende de como definamos a funcao logaritmica natural.
Usualmente, define-se a mesma como a inversa da funcao exponencial de base
e, ou seja, ln eh a funcao tal que ln(e^x) = x para x em R (estou me
restringindo à reta real). Como a funcao exponencial eh estritamente
crescente em R, a funcao ln entao existe e eh estritamente crescente para
x>0 (que eh o conjunton imagem da exponencial). E como a exponencial eh
diferenciavel em R e nunca se anula, segue-se que ln eh diferenciavel para
x>0 e que podemos aplicar aquele teorema da derivada da funcao inversa.
Logo, para x>0 temos que (lnx)' = 1/(e)'(lnx) = 1/e^lnx = 1/x. Agora, vemos
que 1/x eh continua para x=/= 0, logo integravel em qualquer intervalo
fechado que nao contenha o zero. Como ln(1) = e^0 = 1, temos pelo T.
Fundamental do Calculo Integral que lnx = Integral (1 a x) 1/t dt. Em termos
de integral indefinida, temos que entao que ln eh uma das integrais
indefinidas de 1/x. (pois para todo C, ln + C , C constante, tambem o eh).
Se considerarmos valores negativos para 1/x, podemos de fato dizer que ln|x|
e uma primitiva de 1/x, conforme o colega mostrou. 
A questao relativa a area entre a curva 1/x e o eixo do x, x>0, eh
consequencia de que lnx = Integral (1 a x) 1/t dt. 
Alguns autores definem ln diretamente pela integral, isto eh,  lnx =
Integral (1 a x) 1/t dt por definicao. Neste caso, a conclusao eh imediata.
Mas usualmente define-se o logaritmo neperiano como a inversa da funcao
exponencial de base e. 
Um abraco
Artur

>O resultado da integral não seria ln |x| ?
>
>ln|x|=ln(-x) se x<0 e ln|x|=ln(x) se x>0.
>Para o primeiro caso a derivada, de ln(-x), é
>-1/(-x)=1/x. Para o segundo caso, temos também 1/x.
>Assim em ambos os casos a derivada é 1/x. Então ln|x|
>é uma primitiva de 1/x, e portanto a sua integral é
>ln|x|+C.
>
>Agora no caso de integrais definidas, uma maneira
>intuitiva de ver isso, é que a área entre a curva 1/x
>o eixo x e retas 1 e x é ln(x) (x>0). Assim a integral
>de 1/x é ln(x).
>
>Não sei se minha explicação convence mas alguém da
>lista deve dar uma demonstração mais formal.
>
>[]'s Marcos
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