Re: [obm-l] serie do Marcio

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 25.04.03 11:39, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Acabo de mandar uma msg boba por
> bater no botão errado.
> 
> Não sei se estou falando com o mesmo Marcio.
> 
>> Quando exatamente eu posso trocar a ordem da
>> integral com o somatorio?
>> Por exemplo, considere a serie cujo n-o termo eh
>> s_n = 1/(4n+1) + 1/(4n+3) - 1/(2n+2), cujos termos
>> são todos positivos.
>> Ela converge, por comparação com a série a/n^2.
>> 
>> Para calcular Somatorio (0 a infinito) s_n, eu pensei
>> em calcular:
>> Somatorio(0 a infinito)_Integral (0 a 1)
>> [x^4n + x^(4n+2) - x^(2n+1)]
>> Trocando a ordem, ficamos com algumas PG's e:
>> Integral (0 a 1) [1/(1-x^4) + x^2 / (1-x^4) - x/(1-x^2)] =
>> Integral (0 a 1) [1/(1+x)] = ln2
>> 
>> Mas eu vi que essa soma vale, na verdade, 1.5 ln2
>> (inclusive me provaram isso, e parece estar certo)..
>> 
>> Por outro lado, em outros problemas esse método
>> funciona bem.. Por exemplo,
>> para calcular Somatorio ( 1/[(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)] )
>> a resposta parece dar correta..
>> 
>> Abracos,
>> Marcio
> 
> Tentei e não consegui mostrar que dá 1.5 ln2.
> 
> Como faz?
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
Oi, Marcio e Luis:

Realmente eh um problema intrigante. Empiricamente (com uma planilha) eu me
convenci que a soma eh 1,5*Ln(2).

Alem disso, vejam esse algebrismo:

 Ln(2)    = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+1/11-1/12+1/13-1/14+...

0,5*Ln(2) =   1/2    -1/4    +1/6    -1/8    +1/10     -1/12     +1/14 - ...

Somando:
1,5*Ln(2) = 1    +1/3-1/2+1/5    +1/7-1/4+1/9     +1/11-1/6+1/3        + ...

Rearranjando os termos:
1,5*Ln(2) = (1+1/3-1/2) + (1/5+1/7-1/4) + (1/9+1/11-1/6) + ...

Ou seja,
1,5*Ln(2) = SOMA(n >= 0) [1/(4n+1) + 1/(4n+3) - 1/(2n+2)]

Assim, o algebrismo funciona apesar de eu nao ter certeza do rigor, dado que
estamos lidando com uma serie condicionalmente convergente.

Pergunta: o que eu fiz pode ser justificado com rigor ou eu achei o
resultado correto por pura sorte?

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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