[obm-l] extensao continua de uma funcao

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Olá a todos
Ha cerca de um mes eu sugeri um problema de Analise para a lista (que,
alias, constava na lista do Claudio de problemas em aberto). Um companheiro,
nao sei se desta lista, pois acabei perdendo o email dele, me solicitou que
apresentasse a respctiva demonstracao.

Sejam D um subconjunto de R^n e f:D--> R^m uma funcao que apresenta limite
em todos os pontos de acumulacao de D. Entao, f possui uma unica extensao
continua para o fecho de D, D*. 

Prova:  Inicialmente, observamos que, se existir efetivamente uma f* como a
desejada, entao teremos necessariamente que f*(x) = f(x), se x pertence a D,
e  f*(x)= lim y-->x f(y) se x nao pertence a D. Logo, se esta f* existir,
entao ela eh unica e tem a definicao dada. Nao ha outra candidata.
Vamos agora mostrar que f* eh continua em D*. Seja x pertencente a D*. Temos
que f eh continua em x (se x estiver em D) ou (nao excludente) apresenta
limite em x (se x nao estiver em D). Considerando-se a definicao de f*,
segue-se que, dado qualquer eps>0, existe d>0 tal que
|f*(y) - f*(x)| < eps para todo y em D tal que |y-x|<d. (1)
Suponhamos agora que u pertenca a D* e que |u-x| <d.  Considerando-se a
continuidade ou existencia de limite de f em u, bem como as propriedades dos
pontos de fecho de um conjunto, podemos garantir que, dado qualquer eps'>0,
existe algum u' em D tal que |u'- u| < d - |u-x|  e |f*(u')- f*(u)| < eps'.
Temos entao, pela Desigualdade do Triangulo, que |u'-x| <= |u'-u| + |u-x| <
d- |u-x| + |u-x| =d, do que se segue, face a (1), que |f*(u') - f*(x)| <
eps. Aplicando-se novamente a Desigualdade do Triangulo, concluimos que
|f*(u) - f*(x)| <= |f*(u) - f*(u')| + |f*(u') - f*(x)| < eps' + eps. Como
eps' eh arbitrario, concluimos que |f*(u) - f*(x)| <= eps  para todo u em D*
tal que |u-x<d. E como eps tambem eh arbitrario, fica demonstrado que f em
eh continua em todo x pertencente a D.

Ha uma outra prova interessante baseada em sequencias. Sejam x pertencente a
D* e (x_n) uma sequencia em D que convirja para x (o fato de x pertencer a
D* assegura a existencia de tal sequencia). Considerando-se a continuidade
ou existencia de limite de f em x, bem como a definicao de f*, temos, para
cada n, que existe y_n em D satisfazendo a |y_n - x_n| <1/n (2) e |f*(y_n) -
f*(x_n)| <1/n (3). De (2) eh imediato que (y_n - x_n) converge para 0,
condicao que, face a convergencia de (x_n) para x, acarreta que o mesmo se
verifique para (y_n). De (3), segue-se que (f*(y_n) - f*(x_n)) converge para
0 (4). Em virtude da continuidade de f em D, temos que (f(y_n)) = (f*(y_n))
converge para f*(x), o que, em virtude de (4), acarreta que (f*(x_n))
convirj para f*(x). Como isto eh valido para todo x em d* e toda sequencia
em D* que convirja para x, concluimos que f* eh continua em D*.

Este teorema pode ser estendido a qualquer espaco metrico, bastando
substituir a norma euclidiana pela metrica definida no espaco em questao. Ha
um teorema semelhante (mas nao eh o mesmo), encontrado em todos os livros de
Analise, o qual diz que se f for uniformemente continua em um subconjunto D
de um espaco metrico X e tiver valores em um espaco metrico completo Y,
entao funcao f* , conforme definimos, eh a unica extensao uniformemente
continua de f para D* . No caso que acabamos de ver, mais geral, nao se
exije continuidade uniforme e o espaco metrico de chegada nao tem que ser
completo. Tambem nao se exige que D* seja compacto.  

Desculpem se isto ficou chato, mas um colega me pediu que desse esta prova.
Eu sei que a maoria aqui nao curte muito Analise...

Um abraco
Artur

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