Fala Helder ..... na paz?//!!
Rapaz , fiz o 1 e o ultimo, ve se concorda comigo:
1-) Consideremos [A,B] como o conjunto de peças 2x1 e 2x2 que definem um quadriculado 2xN , ou seja , [A,B] indica que precisamos de A peças 2x1 e B peças 2x2 para se contruir um quadriculado 2xN.
Com isso em mente , vamos analizar o caso que N é par e o caso que N é impar separadamente:
*N par:
*----Usando apenas peças 2x1>>>>De uma só maneira constroi-se um quadriculado 2xN.
*----Usando apenas peças 2x2>>>>De uma só maneira constroi-se um quadriculado 2xN.
*----Usando simultaneamente peças 2x1 e 2x2>>>>Podemos dizer que [2,(n-2)/2] define um quadriculado 2xN ,ou seja ,podemos construir o quadriculado 2xN usando 2 peças 2x1 e (n-2)/2 peças 2x2 .Podemos dizer tambem que [4,(n-4)/2] define um quadriculado 2xN. Estendendo esse raciocinio , chegaremos a um conjunto S : S={[2,(n-2)/2],[4,(n-4)/2],..............,[(n-4),2],[(n-2),1]}onde cada elemento define um quadriculado 2xN. Temos que o numero de elementos de S determina o numero de maneiras que podemos construir o quadriculado 2xN usando simultaneamente as peças 2x1 e 2x2. Dai vem que , podemos construir de (n-2)/2 maneiras o quadriculado 2xN, quando N é par , usando simultaneamente peças 2x1 e 2x2.
Podemos construir de (n-2)/2 + 2 maneiras o quadriculado 2xN quando N é par.
*N impar
*----Usando apenas peças 2x1>>>>De uma só maneira constroi-se um quadriculado 2xN.
*----Usando apenas peças 2x2>>>>Impossivel construir um quadriculado 2xN.
*----Usando simultaneamente peças 2x1 e 2x2>>>>Podemos dizer que [1,(n-1)/2] define o quadriculado 2xN , assim como [3,(n-3)/2] .......................... assim como [(n-2),1] ou seja ,
o numero de elementos do conjunto T={1,(n-1)/2],[3,(n-3)/2],................,[(n-4),2],[(n-2),1]} determina o numero de maneiras de se contruir o quadriculado 2xN usando simultaneamente peças 2x1 e 2x2,esse numero é:(n-1)/2
Podemos construir de (n-1)/2 +1 maneiras o quadriculado 2xN quando N é impar.
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2-) Voce pode calcular 1^3 + 2^3 + ..................+ n^3 =f(n) de diversas formas , uma delas é voce procurar calcular por induçao.Primeiramente voce tem que tomar algo como hipotese.Como fazer isso?Eu aconselho voce nesses casos procurar uma lei de formaçao para cubos pequenos,ou seja , pegando por exemplo 2^3 ,voce percebera que 2^3 = 3 + 5 ,
assim como se voce pegar 3^3 , vc vera que 3^3 = 7 + 9 + 11 , assim como 1^3 =1.O que vc observa nesses casos ? Se observa que os cubos sao resultado aparente da soma dos termos de uma PA de razao 2 ( hipotese) , se observa (para n={1,2,3})que n^3 é resultado da soma dos termos de uma PA de razao 2 com n termos, onde a_1 = 1 + 2.[1+2+3+.......+(n-1)] = n^2 - n + 1 =a_1 (hipotese ).
Temos pelo menos 2 hipoteses embasadas no que observamos:
*(hipotese 1)---- n^3 é resultado da soma de uma PA de n termos.
*(hipotese 2)---- n^3 é resultado da soma de uma PA de n termos onde: a_1 = n^2 - n +1 e a_n = n^2 + n -1.
Vamos agora calcular a soma dos termos de uma PA de n termos de razao 2 , com a_1 = n^2-n+1 e a_n = n^2 +n -1.(Estamos supondo que a soma dos termos dessa PA seja n^3.)
s_n = n . (n^2 -n + 1 + n^2 +n - 1)/2 = n . (2.n^2)/2 = n . n^2 = n^3
s_n = n^3 Nossa hipotese inicial é verdadeira!!!Ou seja, podemos escrever 1^3 = 1 , 2^3 = 3 +5 , 3^3 = 7 + 9 +11 , 4^3 = 13 + 15 +17 +19 .............................
.............,n^3 = (n^2 - n + 1 ) + (n^2 - n +1 +2.1 ) +.......................+[n^2 -n +1+2(n-1)] .
Calcular 1^3 + 2^3 + ....................+ n^3 = f(n) se torna equivalente a calcular 1 + 3 + 5 + ...............................+ (n^2 + n - 1)>>>........>>>----------f(n)=n.(n+1).n.(n+1)/4.
[(n^2 +n)/2]^2 = 1^3 + 2^3 + ........................+n^3.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
..............................................................................................................
..........................................................................................................................................
Forte abraço.
Felipe Mendonça Vitória - ES.