Re: [obm-l] Problemas em Aberto II

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>19. Suponha que os n=FAmeros da forma 2^x * 3^y (x, y: inteiros n=E3o =
>negativos) s=E3o colocados em ordem crescente. Prove que existem termos =
>consecutivos - digamos 2^a * 3^b  e  2^c * 3^d - tais que um dos =
>n=FAmeros | a - c |  ou  | b - d | =E9 t=E3o grande quanto se queira.
>

   Ha' pelo menos (n+1)^2 numeros dessa forma menores ou iguais a 6^n (por
exemplo os numeros da forma 2^a.3^b com 0<=a,b<=n). Assim, se r > 1 e' a
menor razao entre dois numeros consecutivos dessa forma que sao menores que
6^n, temos r^((n+1)^2-1) <= 6^n, donde r <= 6^(1/(n+2)), que tende a 6^0=1
quando n cresce. Se |a-c| e |b-d| fossem limitados para os pares de numeros
consecutivos da forma 2^a.3^b e 2^c.3^d, a razao 2^(c-a).3^(d-b) entre dois
termos consecutivos pertenceria a um conjunto finito de numeros maiores que
1, e nao poderia aproximar-se arbitrariamente de 1, absurdo.

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>
>20. Duas de An=E1lise Real:
>
>A) Prove que se f:{a, b) -> R  =E9 cont=EDnua em c em (a,b) e lim x-> c
>f'(x) =3D L, ent=E3o f'(c) =3D L. A partir da=ED, conclua que derivadas =
>jamais
>apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua tamb=E9m que se f' =
>=E9
>monot=F4nica em um intervalo I, ent=E3o f'=E9 cont=EDnua em I.
>
>B) Suponhamos que f seja diferenci=E1vel em R e seja k<>0. Mostre que:
>B.1) se k>0, ent=E3o lim x -> infinito f'(x) + k f(x) =3D L, L em R,  =
>implica
>que lim x-> infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito f(x) =3D L/k
>B.2) se k<0, ent=E3o lim x-> infinito f'(x) + k f(x) =3D L, L em R, s=F3 =
>=E9
>poss=EDvel se lim x-> e^(kx) f(x) =3D 0, caso em que temos tamb=E9m lim =
>x->
>infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito  f(x) =3D L/k
>sugest=E3o : defina h(x) =3D e^(kx) f(x) g(x) =3D e^(kx) . Logo, f(x) =
>=3D
>h(x)/g(x). Use L'Hopital.
>
>

   A) A primeira afirmacao segue imediatamente do teorema do valor medio: Se
f e' continua em [x,x+h] e derivavel em (x,x+h) entao (f(x+h)-f(x))/h=f'(c),
para algum c em (x,x+h).
As outras afirmacoes seguem do teorema do valor intermediario para
derivadas: se f e' derivavel e s esta' entre f'(a) e f'(b) entao (mesmo que
f' nao seja continua) existe c entre a e b com f'(c)=s. Para provar isso,
seja g(x)=f(x)-sx. Temos g'(x)=f'(x)-s, donde g'(a)=f'(a)-s e g'(b)=f'(b)-s
tem sinais opostos. Queremos mostrar que existe c em (a,b) com g'(c)=0.
Suponha sem perda de generalidade que g'(a)>0 e g'(b)<0. Como g e'
derivavel, e logo continua, em [a,b], existe c em [a,b] onde g(c) e' maximo.
Como g'(a)>0, g(x)>g(a) para todo x um pouco maior que a, e como g'(b)<0,
g(x)>g(b) para todo x um pouco menor que b, donde c deve pertencer a (a,b),
e portanto g'(c)=0 (e f'(c)=s).
   B) Se k>0, e^(kx) tende a infinito quando x tende a infinito, e podemos
usar a regra de l'Hopital para calcular
lim(x->infinito)(f(x))=lim(x->infinito)((e^(kx).f(x))/e^(kx))=
=lim(x->infinito)((e^(kx).f'(x)+k.e^(kx).f(x))/(k.e^(kx)))=
=lim(x->infinito)((f'(x)+k.f(x))/k)=L/k. (E logo
lim(x->infinito)(f'(x))=lim(x->infinito)(f'(x)+k.f(x))-k.lim(x->infinito)(f(x))=L-k.(L/k)=0)
Por outro lado, se k<0 a situacao e' mais delicada, e a conclusao a que eu
cheguei nao e' bem a do enunciado (de fato, se f(x)=e^(-kx)+L/k, vale
lim(x->infinito)(f'(x)+k.f(x))=L, mas nao e' verdade que
lim(x->infinito)(e^(kx).f(x))=0). O que e' verdade nesse caso e' que
f(x)=c.e^(-kx)+h(x) (para algum c real), onde lim(x->infinito)(h(x))=L/k e
lim(x->infinito)(h'(x))=0. 
       Para mostrar isso, seja g(x)=e^(kx).f(x). Temos
g'(x)=e^(kx).(k.f(x)+f'(x))=O(e^(kx)) pois k.f(x)+f'(x) converge. Assim,
dados m < n naturais (grandes), |g(n)-g(m)|<= 
<=soma(j=1 ate' n-m)(|g(m+j)-g(m+j-1)|=O(soma(j=1 ate'
n-m)(e^(k(m+j)))=O(e^(km)), donde (g(n)) e' uma sequencia de Cauchy, e
portanto converge a um certo c (e alem disso nossas estimativas mostram que
|g(m)-c|=O(e^(km))). Como |g(x)-g([x])|=O(e^(kx)), temos
lim(x->infinito)(g(x))=c e |g(x)-c|=O(e^(kx)). Assim,
h(x):=f(x)-c.e^(-kx)=e^(-kx).(g(x)-c)=
=O(e^(-kx).e^(kx))=O(1), donde
lim(x->infinito)(e^(kx).h(x))=lim(x->infinito)(e^(kx))=0, e podemos usar a
regra de l'Hopital para calcular lim(x->infinito)(h(x))=
=lim(x->infinito)((e^(kx).h(x))/e^(kx))=
lim(x->infinito)((k.e^(kx).h(x)+e^(kx).h'(x))/(k.e^(kx)))=
=lim(x->infinito)((k.h(x)+h'(x))/k)=L/k, pois h'(x)=f'(x)+k.c.e^(-kx), donde k.h(x)+h'(x)=
=k.f(x)+f'(x), que tende a L quando x tende a infinito. Do mesmo jeito que antes,
lim(x->infinito)(h'(x))=lim(x->infinito)(h'(x)+k.h(x))-k.lim(x->infinito)(h(x))=L-k.(L/k)=0.

     Abracos,
              Gugu

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