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Re: [obm-l] Problemas em Aberto II
>
>16. Seja f uma fun=E7=E3o cont=EDnua em [a,b] e diferenci=E1vel em =
>(a,b).
>
>A) =C9 poss=EDvel que, apesar de existir, f' seja descont=EDnua em todo =
>ponto de (a,b).
>
>B) Em caso afirmativo, ser=E1 que a condi=E7=E3o f(a) < f(b) =E9 =
>suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <=3D c < d =
><=3D b) onde f =E9 crescente?
>
>
A) Nao. Vou usar (mais de uma vez) o teorema de Baire: toda intersecao
enumeravel de abertos densos (num intervalo) e' densa (nesse intervalo).
Suponha que f:(a,b)->R seja derivavel e f' seja descontinua em todo ponto de
(a,b). Dado x em (a,b) definimos o salto de f' em x como
w(f',x)=lim(c->0)(sup{f'(y), y em (x-c,x+c)}-inf{f'(y), y em (x-c,x+c)}).
Nao e' dificil ver que se x_n tende a x e w(f',x_n) >= d para todo n entao
w(f',x) >= d. Assim, para todo n inteiro positivo, {x em (a,b) | w(f,x) <
1/n} e' aberto. se esses conjuntos forem densos em (a,b) para todo n entao o
conjunto dos pontos de continuidade de f', que e' dado por {x em (a,b) |
w(f',x)=0}={x em (a,b) | w(f',x) < 1/n para todo n} seria uma intersecao
enumeravel de abertos densos em (a,b) e portanto seria denso em (a,b), e
logo nao-vazio, absurdo. Assim, existem n natural e um intervalo (c,d)
contido em (a,b) tais que w(f',x) >= 1/n para todo x em (c,d). Isso implica
que, para todo inteiro positivo k e todo x em (c,d) existe y em (c,d) com
|y-x| < 1/k e |f'(y)-f'(x)| > 1/3n, e logo existem z em {x,y}, h e t em R
com 0<|t|<|h|=|y-x|<1/k tais que |(f(z+h)-f(z))/h-(f(z+t)-f(z))/t| > 1/4n.
Assim, para todo k (usando a continuidade de f), Z_k:={z em (c,d) | existem
h e t em R com 0<|t|<|h|<1/k tais que |(f(z+h)-f(z))/h-(f(z+t)-f(t))/t| >
1/4n} e' aberto e denso em (c,d),
donde a intersecao dos Z_k para todo inteiro positivo k e' densa e portanto
nao-vazia em (c,d), mas em todo elemento dessa intersecao f nao pode ser
derivavel, absurdo.
B)Existem funcoes diferenciaveis que nao sao monotonas em nenhum
intervalo, mas isso nao e' muito facil de provar. Ha' artigos sobre isso que
datam do fim do seculo XIX. Vou dar uma referencia: "Everywhere
differentiable, nowhere monotone, functions", de Y. Katznelson e Karl
Stromberg, American Mathematical Monthly 81 (1974), 349-354. Tambem existem
funcoes ("escada") nao-constantes diferenciaveis em todo ponto que sao
localmente constantes (i.e., sua derivada e' nula) num aberto denso. A minha
construcao daquelas funcoes usa essas.
>**********
>
>17. a, b, c, d s=E3o n=FAmeros reais n=E3o-negativos tais que:
>
> ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2.
>
>Mostre que:
>
>3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).
>
Esse problema e' equivalente ao problema 11 de "Mais problemas em aberto
II", que eu ja' resolvi: faca a=A/2, b=B/2, c=C/2 e d=D/2 Teremos
2(AB+AC+AD+BC+BC+CD)+ABC+ABD+ACD+BCD=16 e a conclusao
3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd) equivale a
A+B+C+D>=2/3*(AB+AC+AD+BC+BD+CD).
>*********
>
>18. Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de =
>{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com =
>exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes =
>desejar sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua aposta =
>tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a =
>pessoa que acertar o maior numero de triplos.
>A) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de =
>ganhar o primeiro premio.
>B) Qual o valor da probabilidade acima ?
>
Nao entendi bem essa condicao sobre os triplos, mas a aposta gratuita com
a maior quantidade de cartoes faz com que todos os pares de dezenas aparecam
em exatamente um dos cartoes apostados (as condicoes do problema obrigam
cada par de dezenas a aparecer em no maximo um cartao da aposta gratuita, o
que limita o numero de cartoes em C(49,2)/C(7,2)=56, pois cada cartao tem 7
dezenas e C(7,2) pares de dezenas). Um jeito de fazer isso e' pensar no
conjunto das 49 dezenas como o plano afim sobre Z/7Z dado por P=Z/7Z x Z/7Z,
e atribuir um cartao a cada reta {(x,y) em P | Ax+By=C} para (A,B,C) em
(Z/7Z)^3 diferente de (0,0,0). Podemos supor (para contar cada reta uma vez
so') que A=1 ou (A,B)=(0,1), o que nos da' 8.7=56 retas (para cada escolha
de (A,B) podemos escolher qualquer C em Z/7Z). Como por cada par de pontos
passa exatamente uma reta essa construcao funciona.
>***********
>
>19. Suponha que os n=FAmeros da forma 2^x * 3^y (x, y: inteiros n=E3o =
>negativos) s=E3o colocados em ordem crescente. Prove que existem termos =
>consecutivos - digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos =
>n=FAmeros | a - c | ou | b - d | =E9 t=E3o grande quanto se queira.
>
>*************
>
>20. Duas de An=E1lise Real:
>
>A) Prove que se f:{a, b) -> R =E9 cont=EDnua em c em (a,b) e lim x-> c
>f'(x) =3D L, ent=E3o f'(c) =3D L. A partir da=ED, conclua que derivadas =
>jamais
>apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua tamb=E9m que se f' =
>=E9
>monot=F4nica em um intervalo I, ent=E3o f'=E9 cont=EDnua em I.
>
>B) Suponhamos que f seja diferenci=E1vel em R e seja k<>0. Mostre que:
>B.1) se k>0, ent=E3o lim x -> infinito f'(x) + k f(x) =3D L, L em R, =
>implica
>que lim x-> infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito f(x) =3D L/k
>B.2) se k<0, ent=E3o lim x-> infinito f'(x) + k f(x) =3D L, L em R, s=F3 =
>=E9
>poss=EDvel se lim x-> e^(kx) f(x) =3D 0, caso em que temos tamb=E9m lim =
>x->
>infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito f(x) =3D L/k
>sugest=E3o : defina h(x) =3D e^(kx) f(x) g(x) =3D e^(kx) . Logo, f(x) =
>=3D
>h(x)/g(x). Use L'Hopital.
>
>
>**************
>
>------=_NextPart_000_0450_01C2DE71.8F8ABC60
>Content-Type: text/html;
> charset="Windows-1252"
>Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
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><!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">
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>href=3Dfile://C:\WINDOWS\>
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><STYLE></STYLE>
></HEAD>
><BODY bgColor=3D#ffffff>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2>Continuando a compila=E7=E3o de =
>problemas n=E3o=20
>resolvidos da lista:</FONT></DIV>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2></FONT> </DIV>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2>11. Dado um corredor com 1 metro de =
>largura, que=20
>faz uma "curva" de 90 graus e<BR>continua com a mesma largura, =
>qual a=20
>figura plana de maior =E1rea poss=EDvel que pode fazer<BR>essa curva? =
>Observe que o=20
>formato dessa area pode ser qualquer e, obviamente, ela =E9 suposta =
>
>rigida.</FONT></DIV>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2>(Acho que este problema ainda est=E1 em =
>aberto - e=20
>n=E3o s=F3 aqui na lista. De qualquer forma....)</FONT></DIV>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2></FONT> </DIV>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2>**********</FONT></DIV>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2></FONT> </DIV>
><DIV><FONT face=3DArial size=3D2>12. Dada a sequencia a[n+1]=3D =
>2a[1]*a[n] -=20
>a[n-1] definida para todo n>=3D1 tal que a[0]=3D100 e a[100]=3D =
>0.</FONT>=20
><P><FONT face=3DArial size=3D2>a) Mostre que | a[1] =
>|<=3D1.</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>b) Determine a[2003].</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>**********</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>13. X, Y e Z s=E3o reais positivos=20
>e satisfazem o sistema abaixo,<BR><BR>X^2 + XY + (Y^2)/3 =3D =
>25<BR>(Y^2)/3 +=20
>Z^2 =3D 9<BR>Z^2 + ZX + X^2 =3D 16<BR><BR>Encontre o valor de ( XY + 2YZ =
>+ 3ZX=20
>).<BR><BR>SUGEST=C3O : Voc=EA nao precisa, necessariamente, resolver o =
>sistema=20
>...</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>**********</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>14. De quantas formas podemos colocar N =
>rainhas em=20
>um<BR>tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa =
>enxergar<BR>outra?<BR><BR>obs:=20
>uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na<BR>mesma coluna, linha ou =
>
>diagonal.<BR>(Este problema tamb=E9m est=E1 em aberto. Talvez valha a =
>pena tentar=20
>com Torres e Bispos ao inv=E9s de Rainhas)</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>***********</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>15. <BR>> <BR>> _ _ _ _ _ _ _ =
>1 2 ... n=20
>_<BR>> _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_<BR>> B \_\=20
>/_/ A<BR>> =
> =20
>\_|_/<BR>> |_|<BR>>&=
>nbsp; =20
> |_|<BR>> |_|=20
>C<BR>> |o|<BR>> <BR>> =
>Imagine=20
>que o 'desenho' acima =E9 uma linha f=E9rrea,<BR>> aonde o segmento B =
>=E9 extens=E3o=20
>do segmento A e o<BR>> segmento C se conecta com ambos =
>segmentos.<BR>> Os=20
>numeros no segmento A representam n vag=F5es<BR>> _soltos_ e=20
>enumerados.<BR>> Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C =
>->=20
>B,<BR>> mas nunca de C -> A nem B -> A nem B -> C..<BR>> =
><BR>>=20
>De quantas formas eh possivel reagrupar os vag=F5es no<BR>> segmento =
>B?<BR>>=20
><BR>> (h=E1 espa=E7o suficiente para n vag=F5es tanto em A,<BR>> =
>quanto em B e=20
>em C)</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>************</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>16. Seja f uma fun=E7=E3o cont=EDnua em =
>[a,b] e=20
>diferenci=E1vel em (a,b).</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>A) =C9 poss=EDvel que, apesar de =
>existir, f' seja=20
>descont=EDnua em todo ponto de (a,b).</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>B) Em caso afirmativo, ser=E1 que a =
>condi=E7=E3o f(a) <=20
>f(b) =E9 suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a =
><=3D c=20
>< d <=3D b) onde f =E9 crescente?<BR></FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>**********</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>17. a, b, c, d s=E3o n=FAmeros reais =
>n=E3o-negativos=20
>tais que:</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial =
>size=3D2> ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=3D2.</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>Mostre que:</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial =
>size=3D2>3(a+b+c+d)>=3D4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>*********</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>18. Numa loteria sao sorteados 7 numeros =
>escolhidos=20
>aleatoriamente de {1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser =
>preenchido=20
>com exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos =
>cartoes=20
>desejar sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua aposta =
>tenham,=20
>NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a pessoa que =
>acertar o=20
>maior numero de triplos.<BR>A) Exiba uma aposta gratuita que tenha a =
>maxima=20
>probabibilidade de ganhar o primeiro premio.<BR>B) Qual o valor da =
>probabilidade=20
>acima ?</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>***********</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>19. Suponha que os n=FAmeros da forma 2^x =
>* 3^y (x, y:=20
>inteiros n=E3o negativos) s=E3o colocados em ordem crescente. Prove que =
>existem=20
>termos consecutivos - digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais =
>que um=20
>dos n=FAmeros | a - c | ou | b - d | =E9 t=E3o grande quanto =
>se=20
>queira.</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>*************</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>20. Duas de An=E1lise Real:</FONT></P>
><P><FONT face=3DArial size=3D2>A) Prove que se f:{a, b) -> R =
>=E9 cont=EDnua em=20
>c em (a,b) e lim x-> c<BR>f'(x) =3D L, ent=E3o f'(c) =3D L. A partir =
>da=ED, conclua=20
>que derivadas jamais<BR>apresentam descontinuidades do tipo salto. =
>Conclua=20
>tamb=E9m que se f' =E9<BR>monot=F4nica em um intervalo I, ent=E3o f'=E9 =
>cont=EDnua em=20
>I.<BR><BR>B) Suponhamos que f seja diferenci=E1vel em R e seja =
>k<>0. Mostre=20
>que:<BR>B.1) se k>0, ent=E3o lim x -> infinito f'(x) + k f(x) =3D =
>L, L em=20
>R, implica<BR>que lim x-> infinito f('x) =3D 0 e lim x-> =
>infinito f(x)=20
>=3D L/k<BR>B.2) se k<0, ent=E3o lim x-> infinito f'(x) + k f(x) =
>=3D L, L em R,=20
>s=F3 =E9<BR>poss=EDvel se lim x-> e^(kx) f(x) =3D 0, caso em que =
>temos tamb=E9m lim=20
>x-><BR>infinito f('x) =3D 0 e lim x-> infinito f(x) =3D =
>L/k<BR>sugest=E3o=20
>: defina h(x) =3D e^(kx) f(x) g(x) =3D e^(kx) . Logo, f(x) =
>=3D<BR>h(x)/g(x). Use=20
>L'Hopital.<BR></FONT></P>
><P><FONT face=3DArial =
>size=3D2>**************</FONT></P></DIV></BODY></HTML>
>
>------=_NextPart_000_0450_01C2DE71.8F8ABC60--
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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