Re: [obm-l] Fibonacci

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Depois de 3 dias sem o Terra soh vai dar
pra comentar uma msg hoje.

> Mesmo o problema de se achar:
> S = SOMA(n>=0) 1/F(2^n)
> esta' longe de ser trivial.
Concordo. Mas tenho uma solução elegante.

> Acho que a formula: F(2k) = [F(k+1) + F(k-1)]*F(k)
> deve entrar em algum lugar na demonstracao e,
> de algum jeito, a restricao as potencias de 2 deve
> fazer aparecer alguma PG cuja soma eh S.
Mais ou menos. Continue a ler.

> Eu sei que S = 4 - A, onde A = (1 + raiz(5))/2, ou seja,
> S = (7 - raiz(5))/2.
É verdade. Mas podemos encontrar também S_n.

Seja S_n = \sum_{i=0}^n  1 / F_{2^i}.

Para calcular S_n e depois S comece mostrando
por indução que

F_{k-1}F_m - F_kF_{m-1} = (-1)^k F_{m-k}

para m >= k.    (*)     (e F_0 = 0    lembrando
uma outra mensagem)

Feito isso,  coloque k=n   e   m=2n   em (*).

Obtemos F_{n-1}F_{2n} - F_nF_{2n-1} = (-1)^n F_n.
Assim,

1/F_{2n} = F_{n-1}/F_n - F_{2n-1}/F_{2n}
para n par.   (**)

Logo, para n>= 2 e usando (**),

S_n = 1/F_1 + 1/F_2 + (F_1/F_2 - F_3/F_4) +
(F_3/F_4 - F_7/F_8) + .... +
(F_{2^{n-1}-1}/F_{2^{n-1}} - F_{2^n-1}/F_{2^n}).

Que se "telescopia" a   S_n = 3 - F_{2^n-1}/F_{2^n}.

E como lim F_{n-1}/F_n = (sqrt5 - 1)/2 ,

S = 3 - (sqrt5 - 1)/2 = (7 - sqrt5)/2.

[]'s
Luís


-----Mensagem Original-----
De: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sábado, 12 de abril de 2003 15:41
Assunto: Re: [obm-l] Fibonacci


> Oi, Marcio:
>
> Mesmo o problema de se achar:
> S = SOMA(n>=0) 1/F(2^n)
> esta' longe de ser trivial.
>
> Eu sei que S = 4 - A, onde A = (1 + raiz(5))/2, ou seja,
> S = (7 - raiz(5))/2.
>
> Acho que a formula: F(2k) = [F(k+1) + F(k-1)]*F(k) deve entrar em algum
> lugar na demonstracao e, de algum jeito, a restricao as potencias de 2
deve
> fazer aparecer alguma PG cuja soma eh S.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>


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