Re: [obm-l] Sistema

[Manuel Valentim Pera <mane@xxxxxxxxxx>]

Boa tarde.

  Quanto `a pergunta:

>     Olá, queria saber como demonstrar que a única solução positiva do seguinte sistema é x=y=z=1.
>     x+y^2+z^3=3
>     y+z^2+x^3=3
>     z+x^^2+y^3=3

E' mais ou menos sabido que se a<1 entso a^n e' decrescente e se a>1
entao a^n e' estritamente crescente. 

Suponha que (x,y,z) e' uma terna de numeros estritamente positivos,
resolve o sistema acima e uma das coordenadas e' estritamente maior do que
1, digamos, z>1 (as outras possibilidades sao tratadas analogamente).

Ha' tres situacoes possiveis 

A) x<1 e y>=1.

B) x>=1 e y<1

C) X<=1 e y<=1.

Se A) veja que y<=y^2, z^2<z^3 e x^3<x. Entao, usando isso e as duas
primeiras equacoes do sistema,  3 = x+y^2+z^3 < x^3+y+z^2 =3 (absurdo).

Se B) repita o raciocinio acima, invertendo os papeis de x e y. e usando a
segunda e a terceira das equacoes do sistema voce chega ao mesmo absurdo.

Se C) a primeira e a terceira equacoes usadas desse modo fazem o servico.

Manuel

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