Re: [obm-l] Fibonacci

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Marcio:

Gostei bastante da demonstracao, especialmente da sua particao do conjunto
dos dos nos. pares - simples, mas eu nunca tinha pensado nisso. Eu me
pergunto se nao ha outras aplicacoes...

Valeu ,mesmo!

Um abraco,
Claudio.
  
on 13.04.03 19:31, Marcio at marciocohen@superig.com.br wrote:

> Oi Cláudio.. A idéia que eu mencionei antes funciona bastante bem nesse
> caso.
> Afinal, se a,b, a>b são as raízes de x^2 = x+1, sabemos que F_n = (a^n -
> b^n)/sqrt(5). Como ab=-1:
> Se n eh par, entao 1/sqrt(5)F_n = 1 / [(-1/b)^n - b^n] = b^n / [1 -
> b^(2n)] = b^n + b^(3n) + b^(5n) + ...
> (como |b|<1, podemos interpretar a fração como a soma da pg que começa em
> b^n e tem razao b^(2n) ).
> Variando n entre as potências de dois pares e somando temos:
> n=2:    b^2 + b^6 + b^10 + b^14 +...        (expoente = 2 (mod4))
> n=4:    b^4 + b^12 + b^20 +...                  (expoente = 4 (mod8)
> n=8:    b^8 + b^24 + ...        (expoente = 8 (mod16))
> ...
> Note que todo expoente par aparece uma e apenas uma vez nessa soma (de fato,
> se X = (2^r)i, com i ímpar, então X = 2^r (mod 2^(r+1)), e
> X != 2^r (mod 2^(k+1)) para outros valores de k - se k<r ok, pq da zero. Se
> k>r tmb, pq isso implicaria que 2^k | X, contradizendo i ser impar ).
> 
> Logo, [1/sqrt(5)] * [1/F_2 + 1/F_4 + 1/F_8 + 1/F_16 + ...] = b^2 + b^4 + b^6
> + ... = b^2 / (1-b^2)
> Sendo S a soma procurada: S - 1/F_1 = sqrt(5) * b^2 / (1-b^2).
> Como b = [1-sqrt(5)]/2 e b^2 = 1+b:
> S = 1 - sqrt(5)*b = 1-sqrt(5)* ( 1-sqrt(5))/2 = (2 - sqrt(5) + 5)/2 =
> (7-sqrt(5))/2.
> 
> Note que os passos em que se trocou ordem de somatório são formalmente
> justificados pelo fato de soh termos tratados de series absolutamente
> convergentes de termos positivos (pois b^2 > 0).
> 
> Abraco,
> Marcio
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Saturday, April 12, 2003 3:41 PM
> Subject: Re: [obm-l] Fibonacci
> 
> 
>> Oi, Marcio:
>> 
>> Mesmo o problema de se achar:
>> S = SOMA(n>=0) 1/F(2^n)
>> esta' longe de ser trivial.
>> 
>> Eu sei que S = 4 - A, onde A = (1 + raiz(5))/2, ou seja,
>> S = (7 - raiz(5))/2.
>> 
>> Acho que a formula: F(2k) = [F(k+1) + F(k-1)]*F(k) deve entrar em algum
>> lugar na demonstracao e, de algum jeito, a restricao as potencias de 2
> deve
>> fazer aparecer alguma PG cuja soma eh S.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> 

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