Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Trigonometria_e_Sequências

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Ambos os problemas podem ser resolvidos usando o fato
de que
   cos x = (e^(ix) + e^(-ix))/2
   sen x = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)
(x em radianos)

Para ver isso, verifique as expansões em polinômio de
Taylor de e^x, sen x e cos x e verifique que
   e^(ix)  = cos x + i*sen x
   e^(-ix) = cos x - i*sen x

Veja que com isso o problema A5 vira uma soma de duas
progressões geométricas.

O problema B2 usa os fatos acima e a fatoração
 z^n - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1)),
em que w = e^(2\pi/n) é uma raiz n-ésima primitiva da
unidade.

> A5. Sendo \cos(\theta) = 1 / \pi , calcule
\sum_{n=0}^\infty  \cos(n\theta) / 2^n  .

> B2. Para n >= 2, mostre que (produtório)
> \sin(\pi / n) \sin(2\pi / n) ..... \sin[(n - 1)\pi /
> n] = n / 2^{n-1} .
> 
> []'s
> Luís


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