Re: [obm-l] Fw: sqrt(12a^3 - 3)

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

So um pequeno pitaco: A versao do ultimo teorema de fermat para n=3 nao e
muito dificil de provar, se nao me engano foi provada pelo proprio. Acho
que saiu na rpm, tem tambem no livro "100 great problems of elementary
mathematics", Dorrie. Usa o principio da descida infinita (nao sei se o
nome eh exatamente esse). A ideia eh a partir de uma sol., construir outra
onde pelo menos um dos numeros eh estritamente menor que o outro.


Abraco,

Salvador


On Tue, 8 Apr 2003, Wagner wrote:

> 
> ----- Original Message ----- 
> From: Cláudio (Prática) 
> To: Wagner 
> Sent: Monday, April 07, 2003 4:02 PM
> Subject: Re: sqrt(12a^3 - 3)
> 
> 
> Oi, André:
> 
> Gostei muito do problema. Realmente, o UTDF nunca chegou a me passar pela cabeça - foi, sem dúvida, uma ótima idéia.
> 
> Acho que você deveria mandar esta solução pra lista. 
> 
> Obrigado e um abraço,
> Claudio.
>   ----- Original Message ----- 
>   From: Wagner 
>   To: Cláudio (Prática) 
>   Sent: Friday, April 04, 2003 9:52 PM
>   Subject: Re: sqrt(12a^3 - 3)
> 
> 
>   Oi Cláudio
> 
>   Fui eu que inventei esse problema.
>   A solução é muito mais difícil do que parece
>   Foi assim que eu criei esse problema:
>   Se a,b,c são três números inteiros, tais que:
>   (a+b)^3 = a^3 + c^3.
>   Então segundo o último teorema de Fermat 
>   (a+b),a ou c é igual a zero. Pois se eles fossem
>   todos não nulos, isso seria uma contradição do
>   teorema no caso n=3.
>   Se (a+b)^3 = a^3 + c^3 . Então:
>   ((a+b)/b)^3 = (a/b)^3 + (c/b)^3. Para b diferente de zero.
>   Logo: ((a/b)+1)^3 = (a/b)^3 + (c/b)^3.
>   Sejam x e y dois números racionais tais que:
>   x=a/b e y=c/b.
>   Então: (x+1)^3 = x^3 + y^3 =>
>   x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 - y^3 = 0 =>
>   3x^2 + 3x + (1-y^3) = 0.
>   Vamos calcular x em função de y:
>   delta = 9 - 12(1 - y^3) = 12y^3 - 3.
>   x =( -3 + - sqrt(delta))/6. ( i )
> 
>   Agora suponha que a+b=0.
>   Então a = -b => 0 = -b^3 + c^3 => b=c => y=1
>   Se a = 0, b^3 = c^3 => b=c => y=1 
>   Se c = 0, (a+b)^3 = a^3 => b=0 e então nem x nem y fazem sentido.
>   Note que sempre que c é diferente de zero, b é diferente de zero.
>   Se a,b e c forem números inteiros e c for diferente de zero,
>   então x e y vão ser números racionais. Mas segundo o teorema de Fermat
>   isso implica que y = 1. Logo x é racional se e somente se y = 1.
>   Mas temos de ( i ) que x é racional se e somente se sqrt(delta) = sqrt(12y^3 - 3)
>   for racional. Logo sqrt(12y^3 - 3) só é racional se y=1.
> 
>   Na verdade a maior dificuldade dessa solução é associar o problema ao teorema
>   de Fermat (o que é na verdade muito difícil)
> 
> 
>   André T.
> 
> 
>     ----- Original Message ----- 
>     From: Cláudio (Prática) 
>     To: timpa@uol.com.br 
>     Cc: claudio.buffara@terra.com.br 
>     Sent: Friday, April 04, 2003 5:00 PM
>     Subject: sqrt(12a^3 - 3)
> 
> 
>     Oi, Andre:
> 
>     Você já conseguiu provar que se "a" e sqrt(12a^3 - 3) são racionais, então a = 1?
>     De onde você tirou esse problema?
> 
>     Parece que é fácil mas há dias eu tenho tentado sem sucesso.
> 
>     Um abraço,
>     Claudio.
> 
> 

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