----- Original Message -----
Sent: Friday, April 04, 2003 9:52
PM
Subject: Re: sqrt(12a^3 - 3)
Oi Cl�udio
Fui eu que inventei esse problema.
A solu��o � muito mais dif�cil do que
parece
Foi assim que eu criei esse
problema:
Se a,b,c s�o tr�s n�meros inteiros, tais
que:
(a+b)^3 = a^3 + c^3.
Ent�o segundo o �ltimo teorema de Fermat
(a+b),a ou c � igual a zero. Pois se eles
fossem
todos n�o nulos, isso seria uma contradi��o
do
teorema no caso n=3.
Se (a+b)^3 = a^3 + c^3 . Ent�o:
((a+b)/b)^3 = (a/b)^3 + (c/b)^3. Para b diferente
de zero.
Logo: ((a/b)+1)^3 = (a/b)^3 +
(c/b)^3.
Sejam x e y dois n�meros racionais tais
que:
x=a/b e y=c/b.
Ent�o: (x+1)^3 = x^3 + y^3 =>
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 - y^3 = 0
=>
3x^2 + 3x + (1-y^3) = 0.
Vamos calcular x em fun��o de y:
delta = 9 - 12(1 - y^3) = 12y^3 - 3.
x =( -3 + - sqrt(delta))/6. ( i )
Agora suponha que a+b=0.
Ent�o a = -b => 0 = -b^3 + c^3 => b=c =>
y=1
Se a = 0, b^3 = c^3 => b=c =>
y=1
Se c = 0, (a+b)^3 = a^3 => b=0 e ent�o nem x
nem y fazem sentido.
Note que sempre que c � diferente de zero, b �
diferente de zero.
Se a,b e c forem n�meros inteiros e c for
diferente de zero,
ent�o x e y v�o ser n�meros racionais. Mas
segundo o teorema de Fermat
isso implica que y = 1. Logo x � racional se
e somente se y = 1.
Mas temos de ( i ) que x � racional se e somente
se sqrt(delta) = sqrt(12y^3 - 3)
for racional. Logo sqrt(12y^3 - 3) s� � racional
se y=1.
Na verdade a maior dificuldade dessa solu��o �
associar o problema ao teorema
de Fermat (o que � na verdade muito
dif�cil)
Andr� T.
----- Original Message -----
Sent: Friday, April 04, 2003 5:00
PM
Subject: sqrt(12a^3 - 3)
Oi, Andre:
Voc� j� conseguiu provar que se "a" e
sqrt(12a^3 - 3) s�o racionais, ent�o a = 1?
De onde voc� tirou esse problema?
Parece que � f�cil mas h� dias eu tenho tentado
sem sucesso.
Um abra�o,
Claudio.