Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caros companheiros,
   Eu nao me convenci com o argumento que o Fabio usou para mostrar que a
ordem de 10 modulo 3^2002 e' 3^2000 (acho que ele so' provou que essa ordem 
divide 3^2000). Vou dar outro argumento, por inducao, de que para todo n>=2,
a ordem de 10 modulo 3^n (e portanto o tamanho do periodo de 1/3^n) e'
3^(n-2). Para isso, vou provar que para todo n>=0, 10^(3^n)=1+b(n).3^(n+2),
onde 3 nao diide b(n). Isso vale para n=0, e, se vale para n, teremos
10^(3^(n+1))=(10^(3^n))^3=(1+b(n).3^(n+2))^3=1+3.b(n).3^(n+2)+3.(b(n).3^(n+2))^2+
+(b(n).3^(n+2))^3=1+b(n).3^(n+3)(mod 3^(n+4))=1+b(n+1).3^(n+3), onde
b(n+1)=b(n)(mod 3), e portanto 3 nao divide b(n+1). Assim, 
10^(3^2000)=1(mod 3^2002), mas 10^(3^1999)=1+b(1999).3^2001 nao e' 1 mod. 3^2002,
e portanto a ordem de 10 modulo 3^2002 e' 3^2000.
   Abracos,
           Gugu
   
>
>Oi para todos!
>
>Isso também é a prova das 2 hipóteses que eu sugeri para resolver o problema
>(Mas essas hipóteses não eram suficientes para chegar na resposta, já que a
>resposta poderia ser 3^2000 ou 3^2001)
>
>André T.
>
>
>
>> > 17)
>> > a) Ao escrevermos a fração 1/3^2002 como um número decimal, obtemos uma
>> > dízima periódica. Qual o número de algarismos da período? b) Existe
>algum
>> > inteiro positivo n tal que 1/3^n é uma dízima periódica cujo período tem
>um
>> > número par de algarismos?
>> > [...]
>>
>> 17)
>>     a)
>> O conjunto formados pelos invertíveis módulo 3^2002 que são congruentes a
>1
>> módulo 9 é invariante por uma multiplicação por 10. Esse conjunto tem
>> \phi(3^2002)/\phi(9) = 3^2000 elementos. Seja P o produto de todos os seus
>> elementos. Então
>>
>> P === 10^(3^2000)*P (mod 3^2002)
>> 10^(3^2000) === 1 (mod 3^2002)
>>
>> Logo a ordem de 10 (mod 3^2002) divide 3^2000. Como a ordem de 10 (mod
>3^2002)
>> é o número de elementos do menor conjunto invariante por uma multiplicação
>> por 10, mas como 10 !== 1 (mod 27), não existem conjuntos com
>> \phi(3^2002)/\phi(27) === 3^1999 elementos. Logo a ordem de 10 (mod
>3^2002) é
>> mesmo 3^2000, *logo o período de 1/3^2002 é 3^2000*.
>>
>>     b)
>> Não. Seja K = {x | x é invertível (mod 3^n) e x === 1 (mod 9)}. É óbvio
>que
>> 10K = K. Se P é o produto dos elementos de K, então
>>
>> P === 10^(#(K))*P (mod 3^n)
>> 10^(#(K)) === 1 (mod 3^n)
>> ord_3^2002(10) | #(K) = \phi(3^n)/\phi(9) = 3^(n-2)
>>
>> Mas 2 | ord_3^2002(10) <=> 2 | 3^(n-2), *absurdo*. Logo 1/3^n sempre tem
>> período ímpar (em particular, seu período sempre é uma potência de três).
>>
>> []s,
>>
>> - --
>> Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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>> Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux)
>> Comment: For info see http://www.gnupg.org
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>> =+m/H
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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