Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>9)Prove, para todo n=FAmero real positivo x,y,z, a=20
>seguinte inequa=E7=E3o:=20
>(xy+yz+zx)*[1/(x+y)=B2 + 1/(y+z)=B2 + 1/(z+x)=B2]>=3D1/4.
>

Isso e' trivial pois, sendo z o maior dos tres numeros,
(xy+xz+yz)(1/(x+y)^2+1/(x+z)^2+1/(y+z)^2)>=(xz+yz)(1/(x+y)^2)=z/(x+y)>=1/2.
Seria mais interessante tentar provar que
(xy+xz+yz)(1/(x+y)^2+1/(x+z)^2+1/(y+z)^2)>=9/4 (o que parece ser o valor
minimo dessa expressao - eu acho que sei provar isso usando multiplicadores
de Lagrange, mas ainda nao achei nenhuma prova elementar)...
   

>*****
>
>10)Resolva o sistema de equa=E7=F5es:
> i)raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=3D2
>ii)raiz(7y)*[1-1/(x+y)]=3D4*raiz(2)
>

Isso nao parece ter uma resposta muito bonitinha... Fazendo s=x+y eu obtive
(com alguma ajuda do mathematica, por preguica...) os seguintes valores
possiveis para s (isolamos x e y em funcao de s e somamos: deve dar s):


                -5 - 2 I Sqrt[6]         -5 + 2 I Sqrt[6]
Out[13]= {{s -> ----------------}, {s -> ----------------}, 
                       7                        7
 
           11 - 4 Sqrt[7]         11 + 4 Sqrt[7]
     {s -> --------------}, {s -> --------------}}
                 3                      3



Depois eu escrevo mais.
Abracos,
        Gugu
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