[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Subject: [obm-l] Demonstrações

Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações
 
1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3)
+ sqrt(5) é irracional.
 
2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é
irracional
 
3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros
sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb
irracional.
 
desde ja agradeço

Oi a todos!
Os itens 1 e 2 já foram demonstrados por vários colegas. O 3 , na
realidade, vale se p e q forem racionais, ainda que não necessariamente
inteiros. E não é preciso que sejam distintos. Seja S = sqrt(p) +
sqrt(q) e suponhamos, sem perda de generalidade, que sqrt(q) seja
irracional. Segue-se que sqrt(p) = S - sqrt(q) => p = S^2 - 2S sqrt(q) +
q. Por hipótese, q é racional. Se S for racional, então s^2 é racional e
2S sqrt(q) é irracional, pois, por hipótese, sqrt(q) é irracional. Logo,
= S^2 - 2S sqrt(q) + q é irracional, o que contraria a hipótese de que p
é racional. Disso concluimos que S tem necessariamente que ser
irracional. 
Dito de outra forma: se p e q forem racionais, então sqrt(p) + sqrt(q) é
racional se, e somente se, sqrt(p) e sqrt(q) também o forem.
Artur
  

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