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Oi para todos!
TEOREMA: Se a é um nº natural que não é
um quadrado perfeito, sqrt(a) é irracional
PROVA: Suponha por absurdo que sqrt(a) é racional.
Logo sqrt(a) pode ser escrito na forma p/q , mdc(p,q)=1
Logo existe solução racional para p e q tais
que mdc(p,q)=1 para a=p^2/q^2 => a.q^2 = p^2 . a,p,q são
inteiros.
Logo p é divisível por a. Logo p = a.r para
algum valor inteiro de r . Logo a^2.r^2 = a.q^2 => q^2 = a.r^2 . a,q,r
são
inteiros .Segue que q é divisível por a. Como a não
é quadrado perfeito, a>1 . Logo mdc(p,q)>1 . Absurdo !
PROPRIEDADE: Se a é irracional, sqrt(a) também é
irracional
Usando esses teoremas acima fica fácil provar
os 2 primeiros
1)Eleve ( sqrt(3) + sqrt(5)) ao quadrado, você terá
8 + 2sqrt(15) que é irracional pois sqrt(15) é irracional, uma vez
que
15 não é quadrado perfeito, logo sqrt(8 +
2sqrt(15)) = sqrt(3) + sqrt(5) é irracional.
2)(sqrt(p) + sqrt(q))^2 = p+q + 2sqrt(p.q) . Como p
e q são primos distintos p.q não é quadrado perfeito, logo sqrt(p) +
sqrt(q) é irracional
André T.
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