Re: [obm-l] Como resolvo essa??

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Rodrigo:

Esse deu um certo trabalho, mas acho que consegui. Veja mais abaixo.

----- Original Message -----
From: "Rodrigo Badia Piccinini" <rbpicci@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 28, 2003 10:36 AM
Subject: [obm-l] Como resolvo essa??


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> Notação: sqrt() é a raiz quadrada de em número
>
>
> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x
>
> Por Favor me ajudem!!
>

Imagino que você já tenha tentado elevar ao quadrado, rearranjar e elevar ao
quadrado de novo.
E que caiu numa equação do 4o. grau com um termo em x, logo, difícil de
resolver.

Já que resolver a equação em "x" não deu muito certo, que tal tentar
resolver a equação em "5"?

Primeiro eleve ao quadrado:
5 - sqrt(5 - x) = x^2 ==>
5 - x^2 = sqrt(5 - x)

Agora eleve ao quadrado de novo:
5^2 - 2*x^2*5 + x^4 = 5 - x.

Agora rearranje para cair numa equação do 2o. grau em "5":
5^2 - (2*x^2 + 1)*5 + (x^4 + x) = 0

Delta = (2*x^2 + 1)^2 - 4*(x^4 + x) =
4*x^4 + 4*x^2 + 1 - 4*x^4 - 4*x =
4*x^2 - 4*x + 1 =
(2*x - 1)^2 ==> sqrt(Delta) = 2*x - 1

Logo, usando a velha fórmula, teremos:
5 = [ (2*x^2 + 1)  +ou-  (2*x - 1) ] / 2 ==>
10 = 2*x^2 + 2*x   ou   10 = 2*x^2 - 2*x + 2 ==>
2*x^2 + 2*x - 10 = 0   ou   2*x^2 - 2*x - 8 = 0 ==>
x^2 + x - 5 = 0   ou   x^2 - x - 4 = 0 ==>

As raízes da 1a. equação são: x1 = (-1 + raiz(21))/2   e   x2 = (-1 -
raiz(21))/2

As raízes da 2a. equação são: x3 = (1 + sqrt(17))/2  e  x4 = (1 -
sqrt(17))/2

Agora, temos que testar estes quatro valores na equação original para
eliminar possíveis raízes "falsas" introduzidas quando elevamos ao quadrado.

Se estivermos interessados em raízes reais, então podemos eliminar de cara
x2 e x4, pois ambas são negativas e sqrt(5 - (sqrt(5 - x)) é positivo por
definição, logo não pode ser igual a x se x < 0.

Para testar x1 e x3, o seguinte resultado pode ser útil:

Sejam a e b são números reais positivos tais que a >= sqrt(b).
Então sqrt(a - sqrt(b)) = sqrt(m) - sqrt(n), onde:
m e n são as raízes de x^2 - a*x + b/4 = 0  e  m >= n > 0.
Dem:
sqrt(a - sqrt(b)) = sqrt(m) - sqrt(n) ==>
a - sqrt(b) = m + n - sqrt(4*m*n) ==>
m + n = a   e   m*n = b/4 ==>
m e n são raízes de x^2 - a*x + b/4 = 0

sqrt(a - sqrt(b)) >= 0 ==>
sqrt(m) >= sqrt(n) ==>
m >= n

m + n = a > 0 e m*n = b/4 > 0 ==>
m > 0 e n > 0 ==>
m >= n > 0
-------

Como x1 e x3 são positivos, podemos elevar a equação original ao quadrado e
ter certeza de que se x1 ou x3 satisfaz à equação ao quadrado, então irá
satisfazer a equação original.

Assim:
sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x ==>
5 - sqrt(5 - x) = x^2 ==>
5 - x^2 = sqrt(5 - x)

Testando x1 = (-1 + sqrt(21))/2:
5 - x1^2 = 5 - (11 - sqrt(21))/2 = (-1 + sqrt(21))/2

sqrt(5 - x1) = sqrt((11 - sqrt(21))/2) = sqrt(22 - sqrt(84))/2 =
(sqrt(21) - sqrt(1))/2 = (-1 + sqrt(21))/2

Logo, x1 satisfaz à equação original.

Testando x3 = (1 + sqrt(17))/2:
5 - x3^2 = 5 - (9 - sqrt(17))/2 = (1 - sqrt(17))/2

sqrt(5 - x3) = sqrt((9 - sqrt(17))/2) = sqrt(18 - sqrt(68))/2 =
(sqrt(17) - sqrt(1))/2 = (-1 + sqrt(17))/2

Logo, x3 não satisfaz à equação original.

Assim, a única solução real é x1 = (-1+sqrt(21))/2.

*** FIM ***

Um abraço,
Claudio.

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