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Re: [obm-l] Re:[obm-l] Fw: [obm-l] Determine o nº de algarismos do período.
Oi, Amurpe, Andre T. e Andre Riker:
Acho que tem um teorema mais geral, que diz que se m eh um inteiro positivo
maior do que 1 com MDC(m,10) = 1, entao o no. de algarismos do periodo de
1/m eh igual a ordem de 10 mod m, ou seja, o menor expoente k (inteiro
positivo) tal que m divide 10^k - 1.
Suponha que 1/m tenha periodo p. Entao:
1/m = 0,A1A2...Ap A1A2...Ap A1A2... ==>
10^p/m = A1A2...Ap,A1A2...Ap A1A2... ==>
10^p/m - 1/m = A1A2...Ap ==>
10^p - 1 = m * A1A2...Ap ==>
m divide 10^p - 1
Suponha que p = qk + r com q, r inteiros, q > 0 e 0 <= r <= k-1 ==>
m divide 10^(qk+r) - 1
Mas 10^(qk+r) - 1 = 10^(qk)*10^r - 1 = 10^(qk)*10^r - 10^r + 10^r - 1 =
10^r(10^(qk) - 1) + 10^r - 1
Naturalmente 10^k - 1 divide 10^(qk) - 1 = (10^k)^q - 1 ==>
m divide 10^r - 1 e 0 <= r <= k-1 ==>
r = 0, pois k eh o menor inteiro positivo tal que m divide 10^k - 1 ==>
p = qk ==>
p eh multiplo de k = ordem de 10 mod m
Agora, se p > k (logo p >= 2k), teremos que:
(10^k - 1)/m = A1...Ak,A(k+1)...Ap A1...Ap A1...Ap A1... eh inteiro ==>
0,A(k+1)...Ap A1...Ap A1... eh igual a 0 ou 1 ==>
A1...Ap = 0 ou A1...Ap = 99...9 (p noves) ==>
1/m = 0 ou 1/m = 1 ==>
contradicao ==>
p = k
Alem disso, como mdc(10,m) = 1, o teorema de Euler nos da:
10^Phi(m) = 1 (mod m) ==>
Phi(m) eh multiplo de k ==>
o no. de algarismos do periodo de 1/m divide Phi(m) ==>
o no. de algs. do periodo de 1/m sera igual a Phi(m) se e somente se 10 for
uma raiz primitiva mod m.
No caso do problema original, o maximo que da pra afirmar (com base no
teorema acima) eh que o no. de algarismos do periodo de 1/3^2002 deve ser um
divisor de Phi(3^2002) = 3^2002 - 3^2001 = 2*3^2001.
O Andre T. calculou o no. de algs. dos periodos de 1/3^a para a de 1 a 5, e
achou todos da forma 3^b. Pergunta: existe algum expoente n tal que o
periodo de 1/3^n tem um numero par de algarismos?
Um abraco,
Claudio.
on 26.03.03 07:41, amurpe at amurpe@bol.com.br wrote:
>>
>> Oi , Wagner , se não for incomodo gostaria de conhecer
> esse teorema.
>
> um abraço , e obrigado.
>
> Amurpe
>
>
> Oi para todos!
>>
>> Só para corrigir a mensagem anterior, se as duas afirma
> ções estiverem
>> corretas a resposta pode ser tanto 3^2000 como 3^2001.
>> Isso segue do teorema de que o nº de algarismos do perí
> odo de 1/x
>> é menor do que x, para todo x natural maior que 1 (o pe
> ríodo de 1 têm 1
>> algarismo: 1,0000... ).
>> Esse teorema é interessante por que prova que um número
> decimal com
>> período infinito (ou sem período definido) é obrigatóri
> amente irracional.
>> A prova dele é fácil e se alguém quiser eu coloco na li
> sta.
>>
>>
>> Desculpem a distração
>> André T.
>>
>>
>> ----- Original Message -----
>> From: Wagner
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Sent: Sunday, March 23, 2003 12:40 PM
>> Subject: Re: [obm-
> l] Determine o nº de algarismos do período.
>>
>>
>> Oi para todos!
>>
>> Vamos tentar encontrar um padrão para o nº de algaris
> mos do período de
>> 1/3^k para k natural maior do que 1:
>>
>> Para 1/3 , o nº de algarismos do período é 1 (0,333..
> .)
>> Para 1/3^2 , esse nº também é 1 (0,111...)
>> Para 1/3^3 , esse nº é 3 (0,037037...)
>> Para 1/3^4 , esse nº é 9 (0,012345679...)
>> Para 1/3^5 , esse nº é 27 (0,004115226337448559670781
> 893...)
>>
>> SUGESTÕES:
>> -
> Tente provar que o nº de algarismos dos períodos será sem
> pre
>> da forma 3^a, com a natural maior que 1.
>> -
> Tente provar que se k>2, o nº de algarismos do período de
> 1/3^(k+1)
>> é maior (ou então maior ou igual) que o nº de algaris
> mos de 1/3^k.
>>
>> OBS:
>> Eu não tentei provar nenhuma das 2 afirmações, logo e
> las podem ser falsas.
>> Mas, é fácil perceber que se ambas estiverem corretas
> a resposta é 3^2001.
>>
>>
>> André T.
>>
>>
>> ----- Original Message -----
>> From: André Riker
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Sent: Friday, March 21, 2003 10:30 PM
>> Subject: [obm-
> l] Determine o nº de algarismos do período.
>>
>>
>>
>>
>> Alguém poderia me ajudar a resulver esse problema?
>>
>> Ao escrevermos a fração 1/3²ºº² como um número deci
> mal, obtemos uma dízima periódica. Qual o número de algar
> ismos da período?
>>
>> Obrigado, André!!!!!!!!
>>
>>
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