[obm-l] 2^m e 2^n com mesmos dígitos

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Domingos Jr.

Isso foi justamente o que eu fiz, mas a minha questão é outra:

O que ocorre se 2^n tem zeros "internos" em sua representação decimal e
estes zeros são movidos para a esquerda na representação de 2^m.

Por exemplo, podemos ter:
2^n = (ab00c0def)
e
2^m = (000afecbd)

Nesse caso, 2^n e 2^m têm os mesmos dígitos apesar de 2^n > 64*2^m ==> a
nossa solução não é válida

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, March 18, 2003 5:37 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Irã [1999]


> suponha que 2^m e 2^n são números com os dígitos rearranjados, sem perda
de
> generalidade, assuma 2^m < 2^n, é evidente que n = m+1, m+2 ou m+3, pois
> para m+4 o número 2^n tem necessariamente pelo menos um dígito a mais que
> 2^m!
>
> se os dígitos são os mesmos, é fácil verificar que a congruência deles
> módulo 3 é igual
> 2^m = 2^(m+1) (mod 3), como 3 é primo, isso vale <=> 2 = 1 (mod 3) absurdo
> 2^m = 2^(m+3) (mod 3), 8 = 1 (mod 3), absurdo
>
> 2^m = 2^(m+2) (mod 3), 4 = 1 (mod 3), ok
>
> considere agora a congruência mod 9:
> 2^m = 2^(m+2) (mod 9), seja m = 6k + s (com 0 <= s < 5)
> 2^(6k).2^s = 2^(6k).2^(s+2)
> mas 2^6 = 1 mod 9, podemos então eliminar o fator 2^(6k) de ambos os lados
> 2^s = 2^(s+2) (mod 9), para s = 0, 1, 2, 3, 4 essa igualdade não vale e
logo
> chegamos a conclusão que não é possível ter dois inteiros da forma pedida.
>
> [ ]'s
>
> > Caro Edilon e demais colegas da lista:
> >
> > No primeiro problema eu fiz o seguinte:
> >
> > Suponhamos que a resposta seja sim e que existam inteiros positivos m e
n,
> > com m < n tais que 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos.
> >
> > Então, pelo critério de divisibilidade por 9, teremos:
> > 2^n = 2^m (mod 9) ==>
> > 2^(n-m) = 1 (mod 9) ==>
> > n - m é múltiplo de 6 = ordem de 2 mod 9 ==>
> > n >= m + 6 ==>
> > 2^n >= 64*2^m ==>
> > 2^n tem mais dígitos do que 2^m
> >
> > Mas, por hipótese, 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos (em ordens
diferentes)
> > ==>
> > 2^n e 2^m têm o mesmo número de dígitos ==>
> > contradição ==>
> > a resposta é não
> >
> > No entanto, essa solução não é válida se a representação decimal de 2^n
> > tiver dígitos iguais a zero, pois nesse caso, pode ser que os zeros
venham
> > para a esquerda (tornando-se não significativos) na representação de
2^m.
> >
> > Minha pergunta: Como salvar este argumento e resolver o problema?
> >
> > Um abraço,
> > Claudio.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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