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Caro Felipe,
Voce pode encontrar essa demonstracao em diversos lugares, por exemplo, vou te dar uma que esta no livro do Gilbert Strang (Linear Algebra and its Applications) ou em algum livro que trate de equacoes a diferencas finitas.
Defina um vetor u(k) do seguinte modo: u(k)=(F(k+1) F(k))T. Portanto, como sabemos que os membros da sequencia de Fibonacci obedecem a lei de formacao
F(k+2) = F(k+1) + F(k) F(k+1) = F(k+1)
Podemos escrever em forma matricial a seguinte equacao
u(k+1) = Au(k)
onde A e uma matriz 2x2 com os coeficientes a11=1, a12=1, a21=1, a22=0. Entao, se voce for substituindo os termos referentes a u(k), u(k-1), etc, chegara a conclusao que a equacao acima pode ser escrita como
u(k+1) = A^k.u(0)
Portanto, voce tem que encontrar a k-esima potencia da matriz A para resolver o problema. Isso nao e dificil. A matriz A e diagonalizavel e portanto podemos escreve-la como A = SDS^-1 onde S e a matriz cujas colunas contem os autovetores de A. Portanto A^k = S*D^k*S^-1 onde D e a matriz diagonal que contem os autovalores de A. Portanto, calculando os autovetores de A e substituindo em S encontramos finalmente
F(k) = (1/sqrt(5))*( ((1+sqrt(5))/2)^k + ((1-sqrt(5))/2)^k )
Por exemplo, F(0)=0, F(1)=1, F(2)=1, etc.
Sucesso pra voce ! Caso voce nao tenha visto algebra linear, me avise que posso te explicar melhor.
Leandro.
-----Original
Message-----
Ola colegas de lista...
Segundo um colega meu,a expressao que representa o termo geral da serie de Fibonacci(1,1,2,3,5...) é a(n)=(sqrt5)/5.[(2.cos36)^n - (2-2.cos36)^n].
Agora eu pergunto...COMO DEMONSTRAR ISSO?????????????
Empiricamente pude comprovar que para n=(1,2,3) , a expressao é valida.
Uma coisa eu sei , usando recorrencia talvez torne mais pratica a demonstraçao,pois A(z) + A(z+1) = A(z+2) para todo z inteiro e positivo. Abraço Felipe Mendonça Vitória-ES.
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