[obm-l] S = 1/(n^2+1) E tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi Luis:

Foi só com o Google - eu digitei "tan(Pi/11)" e achei o site logo na 1a.
página.

Sobre o livro com as somas, tente o "Mathematical Handbook of Formulas and
Tables" da coleção Schaum. Eu me lembro vagamente de ter visto lá que SOMA
1/(n^2+a^2) tem algo a ver com cotangente hiperbólica. Naturalmente, você
sempre pode calcular os coeficientes de Fourier no braço, mas....

***********

Sobre a identidade trigonométrica, eu andei usando uma planilha Excel e
achei o seguinte:

A = Pi/11 ==>
tan(A) + 4*sen(3A) =
tan(3A) + 4*sen(2A) =
tan(4A) + 4*sen(A) =
tan(9A) + 4*sen(5A) = raiz(11)

tan(6A) + 4*sen(4A) = -raiz(11).


B = Pi/7 ==>
tan(5B) + 4*sen(3B) =
tan(6B) + 4*sen(2B) = raiz(7)

tan(4B) + 4*sen(B) = -raiz(7)


C = Pi/9 ==>
tan(C) + 4*sen(C) =
tan(3C) =
tan(6C) + 4*sen(3C) =
tan(7C) + 4*sen(2C) = raiz(3)

tan(5C) + 4*sen(4C) =
tan(6C) = -raiz(3)

Gozado que é sempre tan(mx) + 4*sen(nx)...
Infelizmente, ainda não encontrei uma demonstração geométrica.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, March 11, 2003 4:42 PM
Subject: S = 1/(n^2+1) era:[obm-l] tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)


> Sauda,c~oes,
>
> Oi Cláudio,
>
> Sempre me pergunto como as pessoas
> encontram tais sites. Só com o Google??
> O fato é que gostei muito do site e
> surfando nele encontrei o seguinte problema:
>
> Calcule S=1/1 + 2/(2+3) + 3/(4+5+6) +
> 4/(7+8+9+10) + 5/(11+12+13+14+15) + ....
>
> Fiz o seguinte: S = \sum_{i>=1} f(i),
> onde f(i) é dado por f(i) =
> i / \sum_{i^2/2 - i/2 + 1}^{i^2/2 + i/2 } k =
> i / i(i^2+1)/2 = 2 / (i^2+1).
>
> Ou seja, S = \sum_{i>=1} 2 / (i^2+1).
>
> Calculando então S1 = \sum_{n>=0} 1 / (n^2+1)
> obtemos S.
>
> Num toco de papel havia escrito há muito
> tempo que S1 = \pi \coth(\pi) / 2 (é isso
> mesmo?).
>
> Sei também que esse resultado é obtido
> num curso de análise complexa, com o
> teorema dos resíduos. Minha pergunta é:
> alguém pode me indicar um livro, encontrado
> na PUC-RJ ou IMPA, onde encontro tais
> somas? Ou seja, S(a) = 1/(n^2 + a^2) ,
> S(a) = 1/(n^4 + a^4)  etc.
>
> Obrigado.
>
> []'s
> Luís
>
>
> -----Mensagem Original-----
> De: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: segunda-feira, 10 de março de 2003 13:05
> Assunto: [obm-l] tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)
>
>
> > Caros colegas da lista:
> >
> > Curiosamente, também vale a identidade:
> >
> > tan(4*Pi/11) + 4*sen(Pi/11) = raiz(11)
> >
> > A demonstração que eu vi também usa complexos, exatamente como a do
> Nicolau.
> > Ela está em: http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/56.html
> >
> > Por acaso alguém conseguiu uma solução do tipo que o Morgado falou - via
> uma
> > construção geométrica?
> >
> > Um abraço,
> > Claudio.
> >
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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