[obm-l] tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista:

Curiosamente, também vale a identidade:

tan(4*Pi/11) + 4*sen(Pi/11) = raiz(11)

A demonstração que eu vi também usa complexos, exatamente como a do Nicolau.
Ela está em: http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/56.html

Por acaso alguém conseguiu uma solução do tipo que o Morgado falou - via uma
construção geométrica?

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, March 06, 2003 12:06 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto IV


> On Sun, Mar 02, 2003 at 11:12:21AM -0300, A. C. Morgado wrote:
> > O Luís Lopes mandou ha algum tempo:
> > Prove que
> > tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11).
> >
> > Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria
> > do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero
> > inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui.
>
> Eu fiz algo bem diferente; usei álgebra e maple:
>
>
> > pp := ((z^3 - z^(-3)) + 2*(z^2 - z^(-2\
> > ))*(z^3 + z^(-3)))^2 + 11*(z^3 + z^(-3))^2;
>              / 3    1       / 2    1  \ / 3    1  \\2      / 3    1  \2
>        pp := |z  - ---- + 2 |z  - ----| |z  + ----||  + 11 |z  + ----|
>              |       3      |       2 | |       3 ||       |       3 |
>              \      z       \      z  / \      z  //       \      z  /
>
> > p1 := expand(pp);
>               2    4        4    4        8      6    4        10    4
4
>  p1 := 4 + 4 z  + ---- + 4 z  + ---- + 4 z  + 4 z  + ---- + 4 z   + ----
+ ---
>                     2             4                    6              8
10
>                    z             z                    z              z
z
>
> > p2 := expand(z^10 * p1);
>          10      12      8      14      6      18      16      4      20
> p2 := 4 z   + 4 z   + 4 z  + 4 z   + 4 z  + 4 z   + 4 z   + 4 z  + 4 z
>
>           2
>      + 4 z  + 4
>
> > factor(p2);
>     5    6    4    7    3    9    8    2    10
> 4 (z  + z  + z  + z  + z  + z  + z  + z  + z   + z + 1)
>
>       10    9    8    7    6    5    4    3    2
>     (z   - z  + z  - z  + z  - z  + z  - z  + z  - z + 1)
>
> A idéia é que z = exp(Pi*i/11).
> Temos tan(3*Pi/11) = -i (z^3 - z^(-3))/(z^3 + z^(-3)),
> sin(2*Pi/11) = -i/2 * (z^2 - z^(-2)) donde após pequenas
> simplificações queremos verificar que pp acima vale 0.
> Expandimos, fatoramos e descobrimos que pp é múltiplo de
> z^10 - z^9 + z^8 - ... - z + 1. Ora, este polinômio de fator
> tem exp(Pi*i/11) por raiz.
>
> Observe que as contas não são tão pesadas assim,
> daria para fazer na mão.
>
> Claro que o Luís Lopes e o Morgado podem achar que uma solução
> geométrica seria mais elegante...
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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