[obm-l] Re: [obm-l] tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Que tal tentar obte-la na raça?Tentar mesmo,desenhar e ver...

-- Mensagem original --

>Caros colegas da lista:
>
>Curiosamente, também vale a identidade:
>
>tan(4*Pi/11) + 4*sen(Pi/11) = raiz(11)
>
>A demonstração que eu vi também usa complexos, exatamente como a do Nicolau.
>Ela está em: http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/56.html
>
>Por acaso alguém conseguiu uma solução do tipo que o Morgado falou - via
>uma
>construção geométrica?
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Thursday, March 06, 2003 12:06 PM
>Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto IV
>
>
>> On Sun, Mar 02, 2003 at 11:12:21AM -0300, A. C. Morgado wrote:
>> > O Luís Lopes mandou ha algum tempo:
>> > Prove que
>> > tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11).
>> >
>> > Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria
>> > do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero
>> > inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui.
>>
>> Eu fiz algo bem diferente; usei álgebra e maple:
>>
>>
>> > pp := ((z^3 - z^(-3)) + 2*(z^2 - z^(-2\
>> > ))*(z^3 + z^(-3)))^2 + 11*(z^3 + z^(-3))^2;
>>              / 3    1       / 2    1  \ / 3    1  \\2      / 3    1 
\2
>>        pp := |z  - ---- + 2 |z  - ----| |z  + ----||  + 11 |z  + ----|
>>              |       3      |       2 | |       3 ||       |       3
|
>>              \      z       \      z  / \      z  //       \      z 
/
>>
>> > p1 := expand(pp);
>>               2    4        4    4        8      6    4        10   
4
>4
>>  p1 := 4 + 4 z  + ---- + 4 z  + ---- + 4 z  + 4 z  + ---- + 4 z   + ----
>+ ---
>>                     2             4                    6            
 8
>10
>>                    z             z                    z             
z
>z
>>
>> > p2 := expand(z^10 * p1);
>>          10      12      8      14      6      18      16      4    
 20
>> p2 := 4 z   + 4 z   + 4 z  + 4 z   + 4 z  + 4 z   + 4 z   + 4 z  + 4
z
>>
>>           2
>>      + 4 z  + 4
>>
>> > factor(p2);
>>     5    6    4    7    3    9    8    2    10
>> 4 (z  + z  + z  + z  + z  + z  + z  + z  + z   + z + 1)
>>
>>       10    9    8    7    6    5    4    3    2
>>     (z   - z  + z  - z  + z  - z  + z  - z  + z  - z + 1)
>>
>> A idéia é que z = exp(Pi*i/11).
>> Temos tan(3*Pi/11) = -i (z^3 - z^(-3))/(z^3 + z^(-3)),
>> sin(2*Pi/11) = -i/2 * (z^2 - z^(-2)) donde após pequenas
>> simplificações queremos verificar que pp acima vale 0.
>> Expandimos, fatoramos e descobrimos que pp é múltiplo de
>> z^10 - z^9 + z^8 - ... - z + 1. Ora, este polinômio de fator
>> tem exp(Pi*i/11) por raiz.
>>
>> Observe que as contas não são tão pesadas assim,
>> daria para fazer na mão.
>>
>> Claro que o Luís Lopes e o Morgado podem achar que uma solução
>> geométrica seria mais elegante...
>>
>> []s, N.
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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