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Realmente é simples... para a letra c, note que se A tem posto 1, então
posso escrever A=u.(vT). Isto acontece pq as colunas de A são múltiplas (por
exemplo) da primeira coluna, daí segue. Então, como A^2=m*A, com m = (uT).v,
temos que A^r=m^(r-1) * A. Então, se você quer achar a inversa de I-A, vale
lembrar da identidade de números reais : (1+x+...+x^k)(1-x)=1-x^(k+1), em
particular se módulo de x é <1 e se k tende a infinito, temos (1-x)^(-1)
=1+x+x^2+...
Portanto, cabe tentarmos a inversa do tipo " I+A+A^2+..." (coloquei entre
aspas, pois essa soma ainda ñ faz sentido).
Temos " I+A+A^2+... = I+A+m*A+m^2 * A +... = I+A*(1+m+m^2+...)". Se m
tiver módulo <1, então o q está em aspas é B = I + A*(1/(1-m)).
Então o que vc faz para o caso geral ? Basta verificar que B é inversa de A
em qualquer caso, pois :
AB=A[I + A*(1/(1-m))]=A+ A^2 (1/(1-m)) = A+m*A*(1/(1-m))= A*[1/(1-m)] =
B-I, logo B(I-A)=I, portanto (I-A)B=I, logo B é a inversa de A, caso m seja
diferente de 1, já que aparece 1-m no denominador.
Se m=1, então A^2=A, logo (I-A)A=0. Suponha que I-A tenha uma inversa B.
Portanto B(I-A)A=B*0=0, logo A=0, já que B(I-A)=I, mas nesse caso o posto de A é
0 e não 1, uma contradição.
Isso finaliza o problema.
Uma outra maneira de achar a inversa é vc procurar uma inversa da forma
B=p*I+q*A, já que as potências mais altas de A são reduzidas à A.
Daí não fica difícil escolher p e q :
B(I-A)=(pI+qA)(I-A)=pI+(q-p)A-qA^2=pI+(q-qm-p)A. Então escolha p=1 e q-qm-p=0,
ou seja q=1/(1-m), o que nos dá a mesma conclusão q antes.
Abraços, Villard
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