Re: [obm-l] O numero fi

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi Duda:

Com base no seu comentário dá pra provar algo mais geral:
Se uma PA e uma PG, ambas não constantes e de termos positivos, têm os dois
primeiros termos iguais, então o terceiro termo da PG é maior que o da PA.

A(1) = a
A(2) = b
A(3) = b + (b-a) = 2b - a

G(1) = a
G(2) = b
G(3) = b*(b/a) = b^2/a

G(3) - A(3) = b^2/a - (2b - a) = (b^2 - 2ab + a^2)/a = (b-a)^2/a > 0, pois
(b-a) <> 0  e  a > 0 ==>
G(3) > A(3).

Por outro lado, se A(1) = G(1) < 0, então G(3) < A(3).

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, February 20, 2003 5:21 PM
Subject: Re: [obm-l] O numero fi


> From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> > Caro Paulo:
> >
> > Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do
> > Problema 1.
> >
> > > PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma
> sequencia
> > de
> > > numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja
simultaneamente
> > uma
> > > PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe
> > > outra(s) ?
> > >
> > Seja A(0) = A
> > Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com:
> > D > 0
> > e
> > Q > 1 se A > 0   ou   0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1).
> >
> > n = 1: A(1) = A + D = A*Q
> > n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2
> >
> > (1) ==> D = A*(Q - 1)
> > (2) - (1)  ==> D = A*Q*(Q-1)  ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1)
> >
> > A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==>
> > Q-1 = Q*(Q-1)
> > Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição
> >
> > Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números
que
> > formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes.
> >
> > *************
>
> Olá Cláudio!
>
> Se três números A, B, C estão em PA e PG:
>
> B - A = C - B ou 2B = A + C
> e B / A = C / B ou B^2 = AC
>
> É preciso que x^2 - 2B x + B^2 = 0 tenha solução x = A, C diferentes de B.
> Dá para se escrever essa equação como (x - B)^2, que implicaria x = B = A
=
> C. Concordo com a sua solução.
>
> >
> > > PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de
> > fibonaci.
> > > Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ?
> > >
> > O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem
> > conhecida e dada por:
> > A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n]
> > onde U = (1+raiz(5))/2
> > (A(1) = A(2) = 1)
> >
> > Assim,
> > A(n)/A(n-1) =
> > [U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] =
> > [U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)]
> >
> > Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2
> >
> > ************
> >
> > Um abraço,
> > Claudio.
>
> Se F_0 = F_1 = 1 e F_(n+2)=F_(n+1)+F_n podemos definir
>
> A_0 = [ F_0 ; F_1 ]^(T)
> A_(n+1) = A * A_n ^(T)
> [ 1 ; 1 ]
> [ 1 ; 0 ] * A_n ^(T)
>
> É fácil mostrar por indução, basta supor a hipótese para A_n e multiplicar
> por A para obter A_(n+1) usando a recursão que define F_n, que A_n = [ F_n
;
> F_(n+1) ]^(T). O problema de calcular o n-ésimo número de Fibonacci F_n
pode
> ser resolvido canculando-se a potência A^n da matriz A, e multiplicando o
> resultado por A_0, pois
>
> A_n = A*A_(n-1) = A*A*A_(n-1) = ... = A^n*A_0
>
> o assunto tem tudo a ver com Álgebra Linear. Eu recomendo o livro do
Gilbert
> Strange que fala sobre aplicações do assunto.
>
> Abraço!
>
> A matriz A é simétrica e pode ser diagonalizada
>
> A = Q^(-1)DQ onde D é a matriz diagonal que tem (1+5^(1/2))/2 e
> (1-5^(1/2))/2 como elementos da diagonal
>
> Daí A^n = Q^(-1)D^nQ.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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