Re: [obm-l] O numero fi

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do
Problema 1.

> PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma sequencia
de
> numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente
uma
> PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe
> outra(s) ?
>
Seja A(0) = A
Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com:
D > 0
e
Q > 1 se A > 0   ou   0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1).

n = 1: A(1) = A + D = A*Q
n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2

(1) ==> D = A*(Q - 1)
(2) - (1)  ==> D = A*Q*(Q-1)  ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1)

A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==>
Q-1 = Q*(Q-1)
Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição

Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que
formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes.

*************

> PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de
fibonaci.
> Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ?
>
O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem
conhecida e dada por:
A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n]
onde U = (1+raiz(5))/2
(A(1) = A(2) = 1)

Assim,
A(n)/A(n-1) =
[U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] =
[U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)]

Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2

************

Um abraço,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================