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Caro JP:
Que tal isso aqui?
Queremos maximizar Q
= A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a:
A(1) + ... + A(n) = S =
constante.
Bom, se os A(i)'s podem ser reais quaisquer, então
a soma dos quadrados é ilimitada. (Tome A(1) = A, A(2) = S-A e todos os
demais A(i)'s = 0 ==> Q = A^2 + (S-A)^2 ==> ilimitada).
No entanto, se nos restringirmos a A(i)'s
positivos, então eu acho que o valor máximo da soma dos quadrados é atingido
quando um deles é igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque f(x1, ...,
xn) = x1^2 + ... + xn^2 é convexa em cada uma das n variáveis e o máximo de uma
função convexa num domínio fechado (que é o nosso caso) é atingido em algum
ponto da fronteira deste domínio.
Nesse caso, Q = S^2.
Por exemplo, se A(1) = A (0 < A < S), A(2) =
S - A, A(k) = 0, para k = 3,...,n então:
Q = A^2 + (S-A)^2 = S^2 - 2*A*S + 2*A^2 = S^2 -
2*A*(S-A) < S^2, pois A e S-A são positivos.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 20, 2003 2:19
PM
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
estranhinha
Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria afinal
temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da soma das
primeiras potencias.E isso e dificil....
Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br>
wrote:
Caro JP:
Então, o problema é:
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que
a soma dos a's e 1.
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n).
Pela desig. do rearranjo, vale:
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <=
A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos
iguais.
Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais
a 1/n ==>
o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2
= 1/n.
Repare que não foi necessário supor que os
A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa
hipótese.
Um abraço,
Claudio.
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