|
1)O produto de 2001 inteiros positivos
distintos possui exatamente 2000 divisores primos distintos. Mostre que podemos
escolher alguns destes 2001 números de modo que seu produto seja um quadrado
perfeito.
Cada um dos 2001 inteiros pode ser escrito da
seguinte forma:
N = P1^X1 * P2^X2 * ... * P2000^X2000, onde os
Pi's são primos distintos e os Xi's inteiros não negativos.
N é quadrado perfeito <==> cada Xi é
par
Podemos representar cada um dos 2001 inteiros por
um vetor de 2000 componentes, onde a i-ésima componente é 0 se Xi for par e 1 se
Xi for ímpar.
Com esta representação, multiplicar dois dos
inteiros equivale a somar os dois vetores correspondentes (mod 2)
(ou seja, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 e 1 + 0 = 0
+ 1 = 1).
Consideremos os seguintes casos:
CASO 1:
Algum dos 2001 vetores é o vetor nulo (todas as
componentes = 0) ==>
o N correspondente é quadrado perfeito ==>
o problema está resolvido.
CASO 2:
Nenhum dos 2001 vetores é o vetor nulo, mas existem
dois vetores iguais ==>
a soma destes dois vetores é o vetor nulo
==>
o produto dos dois inteiros correspondentes é
quadrado perfeito ==>
o problema está resolvido
CASO 3:
Nenhum dos 2001 vetores é o vetor nulo e os vetores
são distintos dois a dois.
Nesse caso, o número de subconjuntos não-vazios do
conjunto de 2001 vetores é igual a 2^2001 - 1.
Como cada vetor tem 2000 componentes e cada componente pode ser 0 ou 1, o
número total de vetores distintos é igual a 2^2000 < 2^2001 - 1.
Logo, pelo princípio das gavetas, devem existir dois subconjuntos distintos
de vetores tais que a soma de seus elementos (mod 2) é a mesma.
Suponhamos que os subconjuntos sejam:
{U1, U2, ..., Ur, V1, V2, ..., Vs} e {U1, U2, ..., Ur, W1, W2,
..., Wt}',
onde os cada Vi é diferente de cada Wj.
Somas iguais (mod 2) ==>
U1 + ... + Ur + V1 + ... + Vs = U1 + ... + Ur + W1 + ... + Wt (mod 2)
==>
V1 + ... + Vs = W1 + ... + Wt (mod 2) ==>
V1 + ... + Vs + W1 + ... + Ws = 0 (mod 2) ==>
o produto dos (s+t) inteiros correspondentes aos Vi's e aos Wj's é quadrado
perfeito ==>
o problema está resolvido.
***************
2)Determine n pertencente aos naturais tais que n^2+2 divida 2+2001n. Inicialmente, temos que: n^2 + 2 <= 2 + 2001n ==>
n^2 - 2001n <= 0 ==>
0 <= n <= 2001.
n = 1 ou 2 (mod 3) ==>
n^2 + 2 = 0 (mod 3) e 2 + 2001n = 2 (mod 3) ==>
3 divide n^2 + 2 e 3 não divide 2 + 2001n ==>
n^2 + 2 não divide 2 + 2001n ==>
n = 0 (mod 3) (necessariamente) ==>
n = 3m com m natural e 1 <= m <= 667
n^2 + 2 divide 2 + 2001n ==>
n^2 + 2 divide (2 + 2001n) - (n^2 + 2) ==>
n^2 + 2 divide n(2001 - n)
n = 3m ==>
9m^2 + 2 divide 3m(2001 - 3m) ==>
9m^2 + 2 divide 9m(667 - m)
MDC(9m^2 + 2,9) = MDC(2,9) = 1 ==>
9m^2 + 2 divide m(667 - m)
CASO 1: m é par ==>
m = 2p (1 <= p <= 333) ==>
36p^2 + 2 divide 2p(667 - 2p) ==>
18p^2 + 1 divide p(667 - 2p)
MDC(18p^2 + 1,p) = MDC(1,p) = 1 ==>
18p^2 + 1 divide (667 - 2p) ==>
18p^2 + 1 <= 667 - 2p ==>
18p^2 + 2p - 666 <= 0 ==>
9p^2 + p - 333 <= 0 ==>
1 <= p <= 6
Testando estes 6 valores possíveis de p, achamos que apenas p = 1 satisfaz
a condição de divisibilidade ==>
m = 2 ==> n = 6
------------------------------
CASO 2: m é ímpar ==>
m = 2p+1 (1 <= p <= 333) ==>
36p(p + 1) + 11 divide (2p+1)(667 - 2p - 1) ==>
36p(p + 1) + 11 divide 2(2p + 1)(333 - p)
36p(p + 1) + 11 é ímpar ==>
36p(p + 1) + 11 divide (2p + 1)(333 - p) ==>
p = 333 ou 36p(p + 1) + 11 <= (2p + 1)(333 -
p) ==>
p = 333 ou 38p^2 - 297p - 322 <= 0
==>
p = 333 ou 1 <= p <= 8
p = 333 ==> m = 667 ==> n = 2001
Testando os outros 8 valores possíveis de p, achamos que apenas p = 1
satisfaz a condição de divisibilidade ==>
m = 3 ==> n = 9
Assim, os únicos naturais n tais que n^2 + 2 divide 2 + 2001n são 6, 9 e
2001.
OBS: Se 0 for considerado natural, então claramente n = 0 também é
solução.
****************
3)Para os inteiros positivos x e y é verdadeira a igualdade 3x^2 + x=
4y^2+y. Mostre que x-y é um quadrado perfeito.
Inicialmente, temos que x > y, pois se x <= y, então 3x^2 + x <=
3y^2 + y < 4y^2 + y ==> contradição
Suponhamos que MDC(x,y) = d.
Então: x = a*d e y = b*d com MDC(a,b) = 1
Como x > y, temos que a > b ==> (a - b) <> 0
3a^2d^2 + ad = 4b^2d^2 + bd ==>
3a^2d + a = 4b^2d + b ==>
3a^2d - 3b^2d + a - b = b^2d ==>
3d(a - b)(a + b) + (a - b) = b^2d ==>
(a - b)[3d(a + b) + 1] = b^2d ==>
(a - b) divide b^2d
Mas MDC(a - b,b^2) = 1 ==>
(a - b) divide d ==>
d = k(a - b) ==>
(a - b)[3k(a - b)(a + b) + 1] = b^2k(a - b) ==>
3k(a^2 - b^2) + 1 = b^2k ==>
k(4b^2 - 3a^2) = 1 ==>
k divide 1 ==>
k = 1 ==>
d = a - b
Mas nesse caso:
x = da = (a - b)a = a^2 - ab
y = db = (a - b)b = ab - b^2
Assim:
x - y = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 ==> quadrado perfeito.
*******************
Um abraço,
Claudio.
|