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Caro Igor:
Seguem-se alguns comentários sobre os seus
problemas.
1°) (Lista da Cone Sul) Estudantes de 13 cidades
diferentes participam de uma competição. Os estudantes foram divididos em 5
grupos , de acordo com suas idades 13, 14, 15, 16 ou 17 anos. Prove que
poderemos escolher ao menos 9 participantes tal que, para cada um deles, o
número de participantes de seu grupo é maior que o número de participantes de
sua cidade.
Considere a matriz A(5x13) tal que A(i,j) = número
de estudantes com idade (i+12) que vieram da cidade j.
Sejam:
L(i) = soma dos elementos da i-ésima linha ( i = 1,
...,5)
C(j) = soma dos elementos da j-ésima coluna ( j =1,
..., 13)
5
13
S = soma dos elementos de A = SOMA L(i) = SOMA
C(j)
i = 1 j
= 1
Com estas definições, o problema se reduz a provar
que existem pelo menos 9 pares ordenados (i,j) (1 <= i <= 5; 1 <= j
<= 13) tais que L(i) > C(j).
Suponhamos, inicialmente, que todos os estudantes
tenham a mesma idade (digamos r+12 anos).
Então L(r) = S e L(i) = 0 para i <>
r.
Como há pelo menos um estudante de cada uma das 13
cidades, nem todos os estudantes vêm da mesma cidade. Assim, para todo j, C(j)
< S ==> L(r) > C(j) e podemos escolher 9 pares (r,j) tais que L(r) >
C(j).
Suponhamos, agora, que pelo menos dois estudantes
têm idades diferentes e que existam no máximo 8 pares ordenados (i,j) tais
que L(i) > C(j).
Para cada (i,j) calculemos o valor máximo de [L(i)
- C(j)].
Este valor máximo é igual a S, e ocorre justamente
quando:
1. todos os estudantes tiverem idade (i+12)
(ou seja, L(i) = S);
E
2. nenhum estudante vier da cidade j (ou seja, C(j)
= 0).
Agora, vamos calcular a soma de todos os [L(i) -
C(j)] (1 <= i <= 5; 1 <= j <= 13).
5
13
5
13
SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] = 13*SOMA L(i) - 5*SOMA
C(j) = 13*S - 5*S = 8*S.
i = 1 j =
1
i =
1 j
= 1
A contribuição dos termos com L(i) > C(j) é, no
máximo, igual a 8*S (no máximo 8 termos com valor máximo igual a S).
De fato, a contribuição máxima é estritamente menor
do que 8*S, uma vez que se todos os 8 termos [L(i) - C(j)] fossem iguais a S,
então, todos os estudantes teriam a mesma idade ( i seria o mesmo para os 8
pares (i,j) ) o que contraria a nossa hipótese de existirem pelo menos dois
estudantes com idades distintas.
Para todos os demais termos do somatório, teremos
L(i) <= C(j) ==> L(i) - C(j) <= 0 ==> contribuição <=
0.
Isso quer dizer que:
5
13
SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] < 8*S
==> contradição.
i = 1 j =
1
Logo, existem pelo menos 9 pares ordenados (i,j)
com L(i) > C(j). ***************
2°) Prove que tg(81)° -tg(63°) +tg(9°) -tg(27°) =
4
Não consegui achar nenhuma forma "não-braçal" de se
provar isso.
O melhor que eu consegui foi expressar estes ângulos em termos do ângulo de 45 graus, cuja tangente é
1, o que facilita a álgebra.
Temos que: 81 = 45 + 36, 63 = 45 + 18, 27 = 45 - 18
e 9 = 45 - 36, e os ângulos de 18 e 36 graus também não são muito "ruins", uma
vez que 18 = 90/5 e 36 = 180/5 ==> pode-se calcular o valor dos senos e
cossenos desses ângulos usando nos. complexos ou a geometria do pentágono e do
decágono regular, por exemplo.
No caso dos nos. complexos, podemos calcular o
valor de [cos(x) + i*sen(x)]^5 de duas formas -
expandindo o binômio e usando a fórmula de DeMoivre. Igualando os resultados
obtidos e fazendo algumas simplificações, obtemos:
cos(5x) = 16*cos^5(x) - 20*cos^3(x) +
5*cos(x)
sen(5x) = 16*sin^5(x) - 20*sin^3(x) + 5*sin(x)
Eventualmente, chega-se a:
tg(18) = sen(18)/cos(18) = raiz[(5 -
2*raiz(5))/5] = A
tg(36) = sen(36)/cos(36) = raiz[5 - 2*raiz(5)] =
raiz(5)*A
e, portanto:
tg(81) = tg(45+36) = [1 + raiz(5)*A]/[1 - raiz(5)*A]
tg(63) = tg(45+18) = (1 + A)/(1 - A)
tg(27) = tg(45-18) = (1 - A)/(1 + A)
tg(9) = tg(45-36) = (1 - raiz(5)*A)/(1 +
raiz(5)*A)
Depois, é só somar e simplificar...
***************
Um abraço,
Claudio. |