[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria



Title:
Ha um errinho de digitaçao intermediario no problemados pares. Onde aparece o produto das combinaçoes deveria aparecer o produto dividido por n!.
A resposta estah certa
Morgado

Cláudio (Prática) wrote:
Caro Amurpe:

Seguem as minhas soluções para os primeiros três problemas. Vou ter de
pensar um pouco mais sobre o quarto.

  
1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta
um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o
conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a
probabilidade do boato ser contado m vezes:

a) Sem retornar à primeira pessoa;
b) Sem repetir nenhuma pessoa.

    
Número de casos possíveis:
Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n
Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o
boato: n
....
Escolha da m-ésima pessoa (pela (m-1)-ésima a ouvir o boato) para ouvir o
boato: n
Total = n^m

a) Número de casos favoráveis:
Escolha do primeiro ouvinte: n
Escolha do segundo: n-1  (estão fora o originador do boato e a primeira
pessoa a ouvi-lo)
Escolha do terceiro: n-1 (estão fora o originador e o segundo ouvinte)
...
Escolha do m-ésimo: n-1
Total = n*(n-1)^(m-1)  ==>  Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1)

b) Número de casos favoráveis:
Escolha do primeiro ouvinte: n
Escolha do segundo: n-1  (estão fora o originador do boato e a primeira
pessoa a ouvi-lo)
Escolha do terceiro: n-2  (estão fora o originador e os dois primeiros
ouvintes)
...
Escolha do m-ésimo: n-m+1 (estão fora o originador e os m-1 ouvintes
anteriores)
Total = n! / (n-m)!  ==>  Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m

*************

  
2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com
probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que
D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a
probabilidade de A ter falado a verdade ?

    
Esse tem cara de pegadinha!

P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade
com 1/3 de probabilidade.
Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram....

**************

  
3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n
pares ?

    
Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2)
Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2)
....
Escolha dos últimos dois objetos: C(2,2)

Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!)

Repare que, se após escolher os n pares, nós permutarmos os dois objetos
dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!),
obteremos o número total de permutações de 2n objetos = (2n)!


Um abraço,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================