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[obm-l] Re: [obm-l] cart�es numerados
Caro Cinoto:
Fiz um pouco mais de progresso nesse problema.
Sejam M = {1, 2, ..., 100 } e S = {3, 4, ..., 199 } = conjunto de todas as
somas poss�veis de dois elementos de M.
Em linguagem matem�tica, o que se deseja � o n�mero de parti��es de M em 3
conjuntos A, B e C (disjuntos dois a dois e com uni�o igual a M) tais que
A+B, A+C e B+C formam uma parti��o de S, onde:
A+B = {x + y | x pertence a A e y pertence a B }
Consegui provar que a sua solu��o (A={1}, B={100}, C = M - {1,100}) � a
�nica (a menos de uma permuta��o) que funciona com 1 carta em cada uma de
duas caixas e as 98 restantes na terceira.
A demonstra��o � simples mas meio sacal pois se desdobra em v�rios casos.
Sejam os conjuntos (caixas) A, B e C, tais que A = {a}, B = {b} e C = X -
{a,b}.
Suponhamos s.p.d.g. que a < b.
a = 1, b = 100 ==> a sua solu��o
A+B = {101}
A+C = {3, 4, 5, ..., 100}
B+C = {102, 103, 104, ..., 199}
A id�ia agora � mostrar que se a <> 1 ou b <> 100, A+C e B+C ter�o um
elemento em comum, o que faz com que o truque deixe de funcionar.
Suponhamos, inicialmente, que a = 1 e vamos variar "b":
b = 2 ==> 3 e 4 pertencem a C ==>
5 = 1 + 4 = 2 + 3 pertence a A+C e a B+C
3 <= b <= 99 ==> 2 e b+1 pertencem a C ==>
b+2 = 1 + (b+1) = 2 + b pertence a A+C e B+C
Suponhamos agora que b = 100 e vamos variar "a":
a = 99 ==> 1 e 2 pertencem a C ==>
101 = 99 + 2 = 100 + 1 pertence a A+C e B+C
2 <= a <= 98 ==> 99 e a-1 pertencem a C ==>
a+99 = a + 99 = 100 + (a-1) pertence a A+C e B+C
Agora, fa�amos a hip�tese de que a > 1, b < 100 e b = a+1.
Temos dois casos a considerar: a = 2 e a >= 3.
a = 2 ==> b = 3 ==> 4 e 5 pertence a C ==>
7 = 2 + 5 = 3 + 4 pertence a A+C e B+C
a >= 3 ==> 1 e 2 pertencem a C ==>
a+2 = a + 2 = b + 1 pertence a A+C e B+C
Finalmente, suponhamos que a > 1, b < 100 e b > a+1:
1 < a < a+1 < b < 100 ==> a+1 e b+1 pertencem a C ==>
a+b+1 = a + (b+1) = b + (a+1) pertencem a A+C e B+C
**************
Em suma: por enquanto temos duas solu��es:
A = {1}, B = {100}, C = {2, 3, ..., 99 }
e
A = {nos da forma 3k}, B = {nos. da forma 3k+1}, C = {nos. da forma 3k+2}
Um abra�o,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 30, 2003 1:14 PM
Subject: [obm-l] cart�es numerados
Pessoal, tenho uma quest�o interessante:
Um m�gico tem cem cart�es numerados de 1 a 100.
Coloca-os em tr�s caixas, uma vermelha, uma branca e
uma azul, de modo que cada caixa cont�m pelo menos um
cart�o.
Uma pessoa da plat�ia escolhe duas das tr�s caixas,
seleciona um cart�o de cada caixa e anuncia a soma dos
n�meros dos dois cart�es que escolheu. Ao saber esta
soma, o m�gico identifica a caixa da qual n�o se
retirou nenhum cart�o.
De quantas maneiras podem ser colocados todos os
cart�es nas caixas de modo de que este truque sempre
funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se
pelo menos um cart�o � colocado numa caixa diferente).
J� pensei um bocado sobre esse problema e at� agora s�
achei uma resposta (que vale por 6, se permutarmos as
cores das caixas), que � colocar numa caixa o n�mero
1, na outra caixa o n�mero 100 e na outra caixa todos
os outros. Ser� que h� mais respostas???
Abra�os,
Cinoto.
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