Re: [obm-l] dupla desigualdade

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Rafael:

Num triângulo retângulo cuja hipotenusa tem medida "a", cuja altura relativa
à hipotenusa tem medida "h" e que está inscrito num círculo de raio "R",
vale sempre o seguinte:
a = 2R
0 < h <= R  ==>  R/h >= 1, com igualdade somente quando o triângulo for
isósceles.

Supondo que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa têm medidas "m"e
"n", não é difícil mostrar que:
h = raiz(m*n)  e  R = (m+n)/2.

Assim, a desigualdade acima nada mais é do que a desigualdade entre as
médias geométrica e aritmética.

Por outro lado, considerando o raio "r" do círculo INSCRITO (juntamente com
os catetos de medidas "b" e "c") teremos:
Área do triângulo = b*c/2 = r*(a+b+c)/2  ==>  (a+b+c)*r = b*c

Além disso, também vale: a*h = b*c.

Logo, (a+b+c)*r = a*h  ==>  r/h = a/(a+b+c).

Agora resta achar os valores máximo e mínimo de r/h. No entanto, dado que
"a"é constante, r/h é máximo quando b+c for mínimo e vice e versa. Assim,
trata-se de achar os valores máximo e mínimo de b+c sujeito a b^2+c^2 = a^2,
o que pode ser feito, por exemplo, usando-se as desigualdades entre as
médias aritmética e quadrática e a relação:
(b+c)^2 = a^2 + 2*b*c, que decorre do teorema de Pitágoras.

(b+c) é mínimo <==> b = 0 e c= a  ou  b = a e c = 0  ==>
min(b+c) = a  ==>  max(r/h) = a/(a+a) = 1/2  (de fato, como excluímos os
casos extremos b = 0 ou c = 0, que resultam em triângulos degenerados, temos
que a desigualdade deve ser estrita, ou seja, r/h < 1/2.

(b+c) é máximo <==> b = c = a/raiz(2)  ==>
max(b+c) = a*raiz(2)  ==>  min(r/h) = a/(a+a*raiz(2)) = 1/(1+raiz(2)) =
raiz(2) - 1

Assim, raiz(2) - 1 <= r/h < 1/2.

Como 2/5 < raiz(2) - 1, teremos: 2/5 < r/h < 1/2

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 30, 2003 1:41 PM
Subject: [obm-l] dupla desigualdade


Pessoal,

Recebi um problema escrito dessa forma:

Demonstrar que em todo triangulo retangulo ABC
subsiste a dupla desigualdade: 2/5 < R/h(a) < 1/2.

Sendo R o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo e h(a) a altura relativa à hipotenusa "a".



Mas já vi que isso não é verdade. Eu queria saber se
alguém já viu algum exercício parecido e saberia dizer
o que está errado nessa pergunta. Talvez tenha algum
caso em que essa desigualdade seja válida, não sei...

Abraços,

Rafael.

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