Retorno agora de férias.
Querido E. Wagner, sei que és um dos escritores da mais linda e bela coleção de livros já editados do ensino médio intitulada: Coleção do Professor de Matemática. Desta forma, fico bastante lisonjeado com sua manifestação. Como aqui neste site somente posso escrever de matemática, o elogio aqui escrito, curto, não reflete a integridade e intensidade de minha satisfação. Assim, em sua homenagem, aproveito a oportunidade para perguntar:
Que livro(s) devo adquirir sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares, no intuito de auxiliar jovens desejosos de ingressar no IME ou no ITA?
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
cc:
Assunto: Re: [obm-l] Um tal de Cassilã o
Prezado Joao Carlos:
Este belo problema foi proposto por Cramer (voce lembra
de sua famosa regra?) e resolvido em 1776 por Castillon,
um geometra e engenheiro italiano. Eles foram contemporaneos
mas quando Castillon conseguiu a solucao, Cramer ja havia
morrido 25 anos antes. Na verdade, Castillon chamava-se
Salvemini, nascido na cidade de Castiglione no centro-norte
da Italia, e dai vem o nome pelo qual ficou conhecido ate surgir
nesta lista como Cassilão.
Bem, vamos ao problema.
Imaginemos o problema resolvido.
Desenhe a seguinte figura:
Uma circunferencia e um triangulo DEF inscrito.
Assinale o ponto A sobre o prolongamento do lado FE,
o ponto B sobre o prolongamento de DE e o ponto C
sobre o prolongamento de DF.
Suponha agora que a circunferencia e os pontos A, B e C
sao dados. Nosso problema eh descobrir um vertice do
triangulo DEF.
Trace FG paralelo a BC (G sobre a circunferencia).
Trace a reta GE que encontra BC em H.
O angulo EHB eh igual a EGF que eh igual a EDF.
Logo, os triangulos BHE e BDC sao semelhantes e entao
BH/BD = BE/BC, ou BH = (BD.BE)/BC.
Trace BT tangente em T a circunferencia. Pela propriedade
da potencia, BD.BE = (BT)^2.
Assim, BH = ((BT^2))/BC. Como BT e BC sao conhecidos,
BH pode ser obtido por uma construcao elementar.
Uma vez determinado H sobre BC nosso problema passa a ser
determinar o ponto E na circunferencia de forma que as retas
EA e EH determinem na circunferencia os pontos F e G, res-
pectivamente, tais que FG seja paralela a BC.
Trace FL paralela a AH (L sobre a circunferencia) e a reta LG
que encontra AH em M. Faca uma figura nova a partir deste
ponto. Os triangulos MGH e EAT sao semelhantes e portanto
HM/HE = HG/HA ou HM = (HE.HG)/HA. Tracando a tangente HS
a circunferencia temos que HM = ((HS)^2))/AH e o ponto M
pode ser obtido por outra construcao elementar.
Como os angulos LFG e AHB sao iguais, nosso problema passa
a ser: tracar por M uma secante MGL de forma que um angulo
inscrito LFG seja igual ao angulo conhecido formado pelas retas
AH e BC. Mais uma construcao elementar e o problema esta
resolvido.
PS. A palavra "elementar" que foi usada varias vezes, se refere
a cada uma das construcoes que permitiram obter os pontos
intermediarios H, M e L. O problema em si eh muito dificil.
Abracos,
E. Wagner.
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From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Um tal de Cassilão
Date: Fri, Jan 3, 2003, 9:34 AM
Como resolver o seguinte problema:
Dados um círculo de centro O e raio r e três pontos não colineares, todos externos ao círculo dado. Construir triângulo inscrito ao círculo, cujos prolongamentos dos lados passam pelos três pontos.
Fonte: amigo de uns 50 anos. Dizendo ele, este é o teorema de Cassilão.
ATT. João Carlos