[obm-l] Somas de séries

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo Santa Rita:

Bem interessante essa questão da relação entre:

R = SOMA A(n)    e     S = SOMA (-1)^(n+1)*n*A(n).

onde A(n) = 1 / (An^2 + Bn + C), com A <> 0.

Dado que quando A(n) = 1/n^2, R = Pi^2 / 6 e S = Ln(2), a relação deve ser
extremamente não-trivial.

Qual bibliografia você recomenda?

Em particular, você conhece alguma fórmula para R e S quando:
A(n) = 1 / (an + b)^2, com a e b inteiros?

Um abraço,
Claudio.

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Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo
Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge.
Converge pra onde ?  Isso vai depender da PA.  No seu caso :

1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2)

Outro caso bem conhecido e :

S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4

E uma relacao bem conhecida e que :

1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2).
A serie acima e o valor da funcao zeta em 2.

Note que  a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que
1/Ai  -  2/Ai+1  +  1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para
qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que :

A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ...

Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o
Teorema de Leibniz a que me referi acima.

Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus
termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2
fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que
( K e S dados ) :

1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i
2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S.

A serie abaixo converge para que numero real ? :

A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ...

Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema
resolvido apenas parcialmente pelo Euler.



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