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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória



Title:
Olá Rafael e Cláudio e Morgado
 
Achei esta questão bem interessante, em suas duas versões (a original e a errata). Vocês encontram a solução para ambas no seguinte link:
 
http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/faq2/comb01.html
 
A solução da versão 3x3 pode lhe parecer longa demais, mas é por que eu tentei explicar com bons detalhes e bastante figuras (faço esta página para meus alunos). Mas esta resolução leva uns 2 minutos para ser concluída no lápis e papel.
 
Quanto à resposta da versão 3x3, não vejo erro na solução 3348 do Rafael. Aguardo suas análises.
 
Atenciosamente
Prof. Thyago
WebMaster cursinho.hpg.com.br
----- Original Message -----
Sent: Friday, January 24, 2003 11:29 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória

Caro Rafael:
 
Com a tabela 3x3 o problema fica mais difícil. Eu achei 2376, mas posso estar errado. Eis o que eu fiz:
 
1. No. de maneiras de colocar as 6 letras sem restrição:
- Escolha das posições para os A's dentre as 9 possíveis: C(9,2) = 36
- Escolha das posições para os B's dentre as 7 restantes: C(7,2) = 21
- Escolha das posições para os C's dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10
TOTAL = 36 * 21 * 10 = 7560
 
Agora, a idéia é subtrair as configurações com duas letras iguais na mesma coluna.
 
2. No. de configurações com A's, B's e C's numa mesma coluna:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posições dos A's na coluna: 3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posições dos B's na coluna: 3
- Escolha da coluna dos C's: 1
- Escolha das posições dos C's na coluna: 3
TOTAL = 3 * 3 * 2 * 3 * 1 * 3 = 162
 
3. No. de configurações com A's e B's numa mesma coluna mas com os C's em colunas distintas:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posições dos A's na coluna: 3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posições dos B's na coluna: 3
 
- Escolhas das posições dos C's sem restrição, dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10
- Número de posições com os dois C's na mesma coluna: 3
==> No. de posições com os C's em colunas distintas = 10 - 3 = 7
TOTAL: 3 * 3 * 2 * 3 * 7 = 378
 
3.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas A's e C's numa mesma coluna e com apenas B's e C's numa mesma coluna também é igual a 378.
Assim:
NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS DUAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 378 = 1134
 
4. No. de configurações com os dois A's numa mesma coluna mas com os B's e os C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posições dos A's na coluna: 3
 
- Escolhas das posições dos B's e dos C's sem restrição: C(7,2)*C(5,2) = 21 * 10 = 210
 
B's numa mesma coluna e C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posições dos B's na coluna: 3
- No. de posições com os C's em colunas distintas: 7
Total: 2 * 3 * 7 = 42
 
Analogamente:
C's numa mesma coluna e B's em colunas diferentes - Total = 42
 
B's e C's numa mesma coluna: 2 * 3 * 1 * 3 = 18
 
- No. de configurações com pelo menos um dentre B e C numa mesma coluna: 42 + 42 - 18 = 66
 
Portanto (usando o princípio da inclusão-exclusão):
- No. de configurações com os B's e os C's em colunas distintas, uma vez colocados os A's: 210 - 66 = 144
 
TOTAL: 3 * 3 * 144 = 1296
 
4.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas os B's ou apenas os C's numa mesma coluna também é igual a 1296.
Assim:
NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS UMA DAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 1296 = 3888
 
 
TOTAL GERAL = 7560 - 162 - 1134 - 3888 = 2376.
 
 
Um abraço,
Claudio.
 
----- Original Message -----
Sent: Thursday, January 23, 2003 7:23 PM
Subject: Re: [obm-l] combinatória

Rafael:
esse problema caiu na UERJ, a resposta eh 48. Mas a tabela nao era 3 por3 e sim 2 por 3  (2 linhas e 3 colunas).

Rafael wrote:
Olá Pessoal!

Resolvendo uma questão que recebi encontrei uma
resposta muito diferente das alternativas. Disseram-me
que a resposta era alternativa d) 48. Porém ao
resolver o problema eu encontrei como resposta 3348,
maneiras!!

Se alguém puder tentar fazer pra ver se eu pensei
alguma coisa errada agradeço. Vejam a questão:

  
26 - De quantos modos se pode colocar na tabela
abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C,
uma em cada casa, de modo que não haja duas letras
iguais na mesma coluna?
 _ _ _
|_|_|_|
|_|_|_|
|_|_|_|

a) 12
b) 24
c) 36
d) 48
e) 64
    
Abraços,

Rafael.

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