[obm-l] Re: [obm-l] Problemas de otimização

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

A resitência de um viga retangular é proporcional a
sua largura (L) e ao quadrado de sua altura (h).
Encontre de que maneira deve-se cortar um tronco
cilíndrico de raio ´a´ para se obter uma viga de maior
resistência possivel.

O problema é achar as dimensões (largura L e altura h) de um retângulo
inscrito num círculo de raio a de tal forma que:
 R =  L*h^2 é máximo.

Os lados do retângulo são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa
igual ao diâmetro (2a) do círculo.
Assim: L^2 + h^2 = 4*a^2  ==>  h^2 = 4*a^2 - L^2  ==>
R = L*h^2 = 4*a^2*L - L^3.

Derivando em relação a L e igualando a zero, teremos:
R'(L) = 4*a^2 - 3*L^2 = 0  ==>
L = 2*a/raiz(3)  = 2*a*raiz(3)/3  ==>
h = L*raiz(2) = 2*a*raiz(6)/3

Falta verificar que estas dimensões realmente maximizam R. Derivando mais
uma vez, teremos:
R''(L) = -6*L < 0 ==> máximo.

************************

Um funil de volume dado deve ter a forma de um cone
circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da
base para que a quantidade de material empregado seja
a menor possível.

Trata-se de encontrar a razão h/r que minimiza a área lateral do cone.

V = 1/3*Pi*r^2*h = constante  ==>  h = 3*V/(Pi*r^2) ==> h^2 =
9*V^2/(Pi^2*r^4)

Geratriz  = g  =  raiz(h^2 + r^2)

Área Lateral  =  A  =  Pi*r*g  =  Pi*r*raiz(h^2 + r^2)  ==>  A^2 =
Pi^2*r^2*(h^2+r^2)

Substituindo a expressão para h^2 na fórmual para A62, teremos:

A^2 = Pi^2 * r^2 * ( 9*V^2/(Pi^2*r^4) + r^2 )  ==>

A^2 = 9*V^2/r^2  +  Pi^2*r^4

Derivando A^2 em relação a r e igualando a zero, teremos:

A^2'(r) = -18*V^2/r^3 + 4*Pi^2*r^3 = 0  ==>
r^6 = 9*V^2/(2*Pi^2) ==>
r^3 = 3*V/(Pi*raiz(2))

De h = 3*V/(Pi*r^2) vem h/r = 3*V/(Pi*r^3) = raiz(2)

A rigor, deveríamos provar que este valor realmente produz um mínimo, mas
isso é fácil de ver a partir da constatação de que A^2(r) é ilimitada
superiormente.

Conclusão: sua solução está certa (ou, pelo menos, nós dois cometemos o
mesmo erro...)

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Marcos Reynaldo" <marc_reybr@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, January 24, 2003 11:31 AM
Subject: [obm-l] Problemas de otimização


Estou com um problema cujo enunciado não entendi até
agora (naum sei nem como começar), quem sabe algum
colega possa me ajudar.

"A resitência de um viga retangular é proporcional a
sua largura (L) e ao quadrado de sua altura (h).
Encontre de que maneira deve-se cortar um tronco
cilíndrico de raio ´a´ para se obter uma viga de maior
resistência possivel."

Tem um outro problema que resolvi, mas não estou bem
seguro a respeito de sua resposta. Achei raiz de 2,
mas tenho uma sensação que esteja errado. Eis o dito
cujo:

Um funil de volume dado deve ter a forma de um cone
circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da
base para que a quantidade de material empregado seja
a menor possível.

Agradeço desde já.

[]´s Marcos.

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