Re: [obm-l] Problema

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Se você sabe um pouco de álgebra linear fica fácil. Seja k o menor natural
tal que A^k = 0. Portanto, existe um vetor v de R^n tal que A^(k-1) * v não
é zero. Agora provamos que v, Av, ... , A^(k-1) * v são um conjunto l.i.
Suponha que temos a(0)*v + a(1)*Av + ... + a(k-1)*A^(k-1) * v = 0, com a(i)
reais. Multiplique essa equação por A^(k-1) à esquerda, daí segue que
a(0)=0. Depois multiplique por A^(k-2) e terá que a(1)=0. Dessa mesma forma,
mostramos que a(0)=a(1)=...=a(k-1)=0, logo o conjunto é l.i. Isso prova em
particular que k<=n, pois não podemos ter mais de n vetores l.i em R^n.
Voltando ao seu problema.... se temos que A^(n+1)=0 é pq n+1 não pode ser o
menor número k tal que A^k=0 (pelo OBS acima). Então k<=n. Se k=n, acabou,
se k é menor que n, segue que A^n = A^k * A^(n-k) = 0.
Talvez tenha um jeito mais simples pra fazer isso..
Abraços,
 Villard

-----Mensagem original-----
De: ciceroth@zipmail.com.br <ciceroth@zipmail.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 13 de Janeiro de 2003 18:34
Assunto: [obm-l] Problema


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>OLa galera,
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>Estou enviando um bom problema de matriz. La vai...
>Seja  A uma matriz nxn. Prove que se A^(n+1) = 0, então A^n = 0.
>
>Cícero Thiago
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>Use o melhor sistema de busca da Internet
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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