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[obm-l] Problemas de Geometria



Title: Help
Caro Eder:
 
Pode acreditar que os seus dois problemas de geometria forem difíceis pra mim também.
 
Repare que nos dois problemas aparecem, de uma forma ou de outra, ângulos inscritos em circunferências. Na maioria dos problemas envolvendo ângulos vale a pena checar para ver se alguma circunferência contém dois ou mais dos ângulos do problema ou, como no caso do problema 1, se você pode transladar algum ângulo de forma que ele fique inscrito na mesma circunferência que algum outro.
 
Outros itens que aparecem com frequência e são a chave para a solução do problema são quadriláteros inscritíveis, paralelogramos, triângulos isósceles e semelhança de triângulos. Não existe um método fixo para se atacar problemas de geometria (especialmente a nível de olimpíada). No entanto, há uma grande probabilidade que estes problemas envolvam os elementos acima.
 
O pior caso é quando você precisa construir uma reta ou segmento auxiliar a fim de fazer um dos itens acima aparecer. Aí, acho que só a experiência ajuda...
 
Como treino, tente os seguintes problemas:
 
1) O triângulo ABC é isosceles, com AB = AC. O ângulo BAC mede 20 graus. Traçam-se os segmento BD e CE, (D em AC e entre A e C; E em AB e entre A e B) formando, com a base BC, ângulos de 60 e 50 graus, respectivamente. Calcule o valor do ângulo BDE. Dica: construa um segmento auxiliar que faça aparecer triângulos isósceles ou, com sorte, um triângulo equilátero.
 
2) Prove o Teorema de Ptolomeu: Num quadrilátero inscritível ABCD, vale AB*CD + AD*BC = AC*BD. Dica: um segmento auxiliar bem construído pode produzir triângulos semelhantes estratégicos.
 
3) Dado um triângulo ABC, construa três circunferências tendo, cada uma, um dos lados do triângulo como diâmetro. Prove que os pontos de interseção de cada par de circunferências pertence a pelo menos um dos lados do triângulo.
 
4) No problema anterior, prove que as três cordas que unem os pontos de interseção de cada par circunferências são concorrentes. Que ponto é esse (em relação ao triângulo ABC)?
 
5) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência. Prove que, qualquer que seja o ponto P no arco BC (que não contém o vértice A), teremos: PA = PB + PC. Dica: use um dos problemas anteriores.
 
Um abraço,
Claudio Buffara.