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Re: [obm-l] geometria



Ótimo.Eu juro que tentei pra caramba,mas não saia nada.Valeu!
----- Original Message -----
From: larryp
Sent: Sunday, January 05, 2003 9:04 PM
Subject: Re: [obm-l] geometria

Problema 2:
ABCD é um quadrilátero cíclico. A reta  tangente por A encontra CB em K,e a reta tangente por B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD. Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos.
 
O resultado estará provado se conseguirmos mostrar que os ângulos MAB e MDC são iguais.
 
1) Tome pontos L em AK e N em MB tais que A esteja entre K e L e que B esteja entre M e N e em seguida use as propriedades dos ângulos e arcos na circunferência:
 
Arco AB = KAB = MDB = KCA = MBA
 
Arco ADC = ABC
 
Arco BCD = BAD
 
 
2) Com as igualdades de ângulos deduzidas acima, conclua que certos triângulos são semelhantes: 
 
KCA = KAB e CKA = AKB ==>
Triângulos KCA e KAB são semelhantes ==>
AC / AB = KC / KA = KA / KB  ==>  KA^2 = KB * KC
 
MDB = MBA e DMB = BMA ==>
Triângulos MBD e MAB são semelhantes ==>
BD / AB = MD / MB = MB / MA  ==>  MB^2 = MA * MD
 
 
3) Levando em conta que KC = 2 * KB e MD = 2 * MA, teremos:
 
KA^2 = 2 * KB^2  e  MB^2 = 2 * MA^2  ==>
KA / KB  =  MB / MA  =  raiz(2)
 
Ou seja, AC / AB = KA / KB = MB / MA = BD / AB = raiz(2)
 
Assim, AC = BD = AB * raiz(2)
 
 
4) Cordas iguais subentendem arcos iguais.
AC = BD ==> Arco ADC = Arco BCD ==> 
Ângulo ABC = Ângulo BAD.
 
 
5) ABCD é cíclico ==>
ABC + CDA = 180 graus ==>
BAD + CDA = 180 graus
 
Mas, MAB + BAD = 180 graus (são suplementares) ==>
MAB = CDA = MDC ==>
AB // CD e o resultado está provado.
 
----- Original Message -----
From: Eder
Sent: Thursday, January 02, 2003 2:51 PM
Subject: [obm-l] geometria

Dois problemas que não estou conseguindo resolver:
 
1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM.
 
2)ABCD é um quadrilátero cíclico.A reta  tangente por A encontra CB em K,e a reta tangente por B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos.
 
Qualquer ajuda/resolução é bem vinda.
 
 
Eder