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Re: [obm-l] Teorema de Silvester

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
From: "larryp" <larryp@xxxxxxxxxx>
Date: Thu, 2 Jan 2003 14:20:32 -0200
References: <F55TsaGH5T4CX9DIjxG000062b4@hotmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Caro Paulo:

Você levantou uma questão interessante e relevante tanto para quem está
escrevendo um livro ou artigo expositório quanto para quem está prestando um
exame discursivo.

Eu me lembro de uma discussão há pouco tempo aqui na lista sobre a
necessidade ou não de se justificar a fórmula da área de um triângulo via
determinantes, e a conclusão pareceu ser que um candidato poderia usar esta
fórmula sem precisar prová-la (até porque trata-se de um resultado bastante
conhecido, tipo fórmula da distância de ponto a reta, ou área da elipse, por
exemplo).

No entanto, o que você acharia, como professor, se um aluno escrevesse numa
prova, sem nenhuma justificativa adicional, algo do tipo "e como um inteiro
positivo tem um número ímpar de divisores, podemos concluir que ele é um
quadrado perfeito." ou então "e como para cada k com 0 < k < n, o
coeficiente binomial C(n,k) é par, temos que n é uma potência de 2.
Portanto, ..." ?

No caso do livro que contém o resultado do Conway, até por razões didáticas,
eu concordo com a sua argumentação. O fato de termos de preencher algumas
lacunas elementares na exposição ajuda, e muito, na solidificação do
conhecimento (nada como ser obrigado a pensar um pouco, de vez em quando!).

A única coisa que realmente me incomoda é o uso de expressões do tipo
CLARAMENTE, TRIVIALMENTE, É ÓBVIO QUE, etc. quando o resultado ao qual a
expressão se refere não é evidente (como seria, por exemplo, o caso da
desigualdade 1 <= Ra <= M ou algum caso de congruência de triângulos), mas
apenas elementar (caso, na minha opinião, dos dois exemplos que eu dei
acima, da desigualdades 2 <= Ra < m e, por exemplo, de vários teoremas de
geometria, tipo lei dos senos e dos cossenos, Pitágoras, fórmula de Heron
para área do triângulo, etc.)

Por outro lado, acho que você foi injustiçado em sua prova de análise. Na
questão do Xn versus (Xn) sem comentários - o seu Prof. também deve tirar
pontos por caligrafia.... E, pelo menos para mim, a sequência 1, 2, 1, 3, 1,
4,.. é CLARAMENTE divergente e CLARAMENTE tem 1 como valor de aderência -
muito mais claramente do que 2 <= Ra < m.

Dito isso, ainda não provei o resultado, mas pelo menos achei n subconjuntos
que satisfazem às condições. Se X = {1,2,...,n} então teremos A(1) = {1,n},
A(2) = {2,n}, ..., A(n-1) = {n-1,n} e A(n) = {1,2,...,n-1}. Além disso,
nenhum deles pode ser removido sem que algum par fique "descoberto" . O
problema agora é que eu fico tentando achar uma sacada genial, que prova o
resultado em 1 linha, e como eu não sou o John Conway....

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, January 01, 2003 9:35 PM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester


> Ola Claudio e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Ola Claudio ! Acho que voce concorda comigo que o raciocinio que voce
> desenvolveu para ver que, para qualquer "a" em X, 2 =< Ra < m, e bastante
> elementar, certo ? Imagine o que ocorreria se em uma exposicao cientifica
> nos fossemos obrigados a demonstrar explicitamente cada detalhe ...
>
> Muito Provavelmente, o Conway supos isso evidente. O Livro a que me referi
> tem esta beleza : voce precisa parar para ESTUDAR A DEMONSTRACAO : ele nao
> perde tempo com detalhes mais ou menos faceis de perceber !
>
> Tudo isso me faz lembrar um Prof de Analise que eu tive. Numa questao de 2
> pontos ele tirou ( eu acho que a questao era : PROVE QUE FECHO(X)=PONTOS
DE
> ACUMULACAO DE X unido FRONTEIRA DE X ).4 duas vezes simplesmente porque ao
> falar sobre uma sequencia eu coloquei "Xn" e nao (Xn). Mais adiante, numa
> outra questao, como contra-exemplo da afirmacao "Toda sequencia que tem um
> valor de aderencia e convergente" eu apresentei a sequencia
1,2,1,3,1,4,1,5,
> ... O Prof tirou .5 alegando que que era preciso provar que tal sequencia
> nao e convergente ... ????
>
> Bom, como eu ja conhecia um pouquinho de analise, o Prof era inflexivel e
eu
> ja havia lido e visto Grandes Mestres desta area, que evidentemente nao
> perdem tempo com estas picuinhas, conclui que o melhor era deixa-lo
perdido
> em seu apego ( ou "a-te-pego" ? ) a um rigor improficuo.
>
> Em sintese, acho suas demonstracoes validas e eu estava pensando se
deveria
> ou nao explicar porque 2 =< Ra < m, nao obstante estar mais inclinado a
> supor que aqui na lista todos perceberiam com facilidade as razoes de tal
> desigualdade.
>
> O Conway admite outras evidencias, proseguindo ... se "a" nao esta em Ai
> entao Ra >= |Ai|, onde Ai e o numero de elementos de Ai. Isso e realmente
> evidente ou e preciso demonstrar ?
>
> Um abraco
> Paulo Santa Rita
> 4,2125,010103
>
>
>
> >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> >Date: Mon, 30 Dec 2002 14:50:42 -0200
> >
> >Caro Paulo:
> >
> >Ainda não descobri a solução mágica do Conway, mas discordo do
> >"claramente"com o qual ele começa.
> >
> >" Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
> >{1,2,...,M }, tal que "a" pertence a Ai. CLARAMENTE 2 =< Ra < M ..."
> >
> >Para mim, só é claro é que 1 <= Ra <= M, pois cada par (e portanto cada
> >elemento de X) pertence a pelo menos um subconjunto e existem M
> >subconjuntos.
>
> >Deduzir que Ra >=2 e que Ra < M não é muito difícil, mas está longe de
ser
> >óbvio.
> >
> >Suponhamos que Ra = 1. Então "a" pertence a um único Ai, e portanto,
todos
> >os N - 1 pares que contém "a" têm de ser subconjuntos de Ai. Mas isso
> >implicaria que todos os outros N - 1 elementos de X estariam também em
Ai,
> >ou seja Ai = X, em contradição à condição de ser Ai um subconjunto
próprio
> >de X.
> >
> >Assim, Ra >= 2.
>
> Voce nao percebeu que e obvio que Ra >= 2 porque voce so olhou por um
> angulo, o angulo acima que voce expos. O enunciado e claro quando afirma
que
> N > 2. Logo, ha ao menos 3 elementos, portanto, qualquer elemento de X
> estara ao menos em dois pares e portanto, Ra >= 2.
>
>
> >Suponhamos que Ra = M. Então, "a" pertence a todos os Ai. Neste caso,
cada
> >um dos outros N - 1 elementos de X deve pertencer a um subconjunto
> >distinto.
> >Caso contrário, tomando um elemento "b", distinto de "a" e que pertença a
> >Aj
> >e Ak (j<>k) formaremos o par {a,b}, o qual estará contido em Aj e Ak, em
> >contradição à condição de cada par estar contido num único subconjunto.
> >
> >Mas se cada um dos outros N - 1 elementos de X pertence a um subconjunto
> >distinto, teremos que M <= N-1, e cada subconjunto será da forma {a,x},
> >onde
> >x é um dos outros N - 1 elementos de X. Isso significa que, dados "b" e
"c"
> >diferentes de "a" e entre si, o par {b,c} não estará contido em nenhum
dos
> >Ai, em contradição à condição de cada par estar contido em algum (de
fato,
> >em exatamente um) subconjunto.
> >
> >Assim, Ra < M.
>
>
> Mais uma vez, voce nao viu que e obvio porque so pensou de uma maneira ...
> se para algum "a", "a" estivesse em todos os Ai entao tomando dois deles
> {a,b} e {a,c) o par {b,c) estaria em algum Ai que teria "a", um absurdo
pois
> cada par esta EM UM UNICO SUBCONJUNTO.
>
>
>
> >Concluindo, 2 <= Ra < M, e a demonstração de 1 linha do Conway vai se
> >alongando...
> >
> >Do jeito que começa, esta demonstração do Conway lembra a demonstração -
em
> >uma frase - do Don Zagier que todo primo p = 1 (mod 4) pode ser expresso
> >como soma de dois quadrados...curta mas com vários detalhes não
totalmente
> >óbvios. Aqui está ela:
> >
> >A involução no conjunto finito S = {(x,y,z) pertencentes a N^3 tais que
x^2
> >+4yz = p }, onde p é um número primo = 1 (mod 4) definida por:
> >
> >                              ( x+2z, z, y-x-z )  se   x < y-z
> >        (x,y,z)   --->   ( 2y-x, y, x-y+z )  se  y-z < x < 2y
> >                              ( x-2y, x-y+z, y )  se  x > 2y
> >
> >tem exatamente um ponto fixo, de forma que S tem um número ímpar de
> >elementos e a involução definida por:
> >
> >        (x,y,z)   --->   (x,z,y)
> >
> >também tem um ponto fixo.
> >
> >NOTAS:
> >1. Uma involução em S, é uma função F : S --> S tal que para todo x em S,
> >F(F(x)) = x.
> >2. x é um ponto fixo de F <==> F(x) = x.
> >
> >
> >Um abraço,
> >Claudio.
> >
> >----- Original Message -----
> >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Saturday, December 28, 2002 2:27 PM
> >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> >
> >
> >Ola Dudu e demais colegas
> >desta lista ... OBM-L,
> >
> >E ai Dudu ? Tudo Legal ?
> >Fico contente em ver voce participar da lista !
> >
> >Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando
> >...
> >
> >A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer
> >conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
> >dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :
> >
> >Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
> >{1,2,...,m }, tal que "a" pertence a Ai. Claramente 2 =< Ra < m ...
> >
> >Um Abraco
> >Paulo Santa Rita
> >7,1425,281202
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > >From: "Eduardo Fischer" <sondudu@pannet.com.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> > >Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200
> > >
> > >Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
> > >mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
> > >Fischer
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
> > >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> > >
> > >
> > > > Ola Jose Francisco e demais
> > > > colegas desta lista ... OBM-L,
> > > >
> > > > Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei
> > >mais
> > > > atento.
> > > >
> > > > A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
> > >notacao
> > > > semelhante. E necessario corrigir apenas :
> > > >
> > > > 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N >
2,
> > > > pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera
> >vazio.
> > > >
> > > > 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe
da
> > > > perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
> > > >
> > > > 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima :
> >pode
> > > > haver mais de um !
> > > >
> > > > A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das
> >coordenadas
> > > > homogeneas.
> > > >
> > > > A generalizacao do Conway e a seguinte :
> > > >
> > > > Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am
> > >subconjuntos
> > > > proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
> > > > precisamente um dos Ai. Entao M >= N.
> > > >
> > > > Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante
o
> > > > pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
> > > >
> > > > Um Abraco
> > > > Paulo Santa Rita
> > > > 5,0145,271202
> > > >
> > > > >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> > > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > > >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> > > > >Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
> > > > >
> > > > >Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é
bem
> > >mais
> > > > >longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta
e
> > >chega
> > > > >a uma contradição:
> > > > >
> > > > >Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os
> > >pares
> > >(
> > > > >P
> > > > >, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
> > > > >pertencentes a "C").
> > > > >
> > > > >Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C"
pertencem
> >a
> > >uma
> > > > >mesma reta.
> > > > >
> > > > >Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a
> > >menor
> > > > >possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
> > > > >
> > > > >Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver
> >um
> > > > >terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois
> >destes
> > > > >pontos estarão de um mesmo lado de P1.
> > > > >
> > > > >Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais
próximo
> > >de P1
> > > > >(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo
lado
> > >que Q
> > > > >em relação a P1.
> > > > >
> > > > >Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR
será
> > >menor
> > > > >do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a
> > >escolha
> > > > >inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
> > > > >colegas desta lista ... OBM-L,
> > > >
> > > > >
> > > > >Curiosidade: Existe também o resultado dual:
> > > > >Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas
passam
> > >por
> > > > >um
> > > > >mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
> > > > >exatamente duas retas.
> > > > >
> > > > >Um abraço,
> > > > >Claudio.
> > > > >
> > > > >----- Original Message -----
> > > > >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> > > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > > >Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
> > > > >Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
> > > > >
> > > > >
> > > > >Santa Rita,
> > > > >
> > > > >Não nos mate de curiosidade.
> > > > >
> > > > >Qual a demonstração de Conway?
> > > > >
> > > > >E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que
> >não
> > > > >serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
> > > > >necessariamente breve - também a de Kelly.
> > > > >
> > > > >JF
> > > > >
> > > > >PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula:
> >onde
> > > > >está
> > > > >"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos
N
> > >(N>2)
> > > > >pontos..."
> > > > >
> > > > >JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est
> > >ória do
> > > > >"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)
> > > > >
> > > > >----- Original Message -----
> > > > >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> > > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > > >Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
> > > > >Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Ola Pessoal,
> > > > > >
> > > > > > Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo -
> >cheguei
> > >a
> > > > >(...)
> > > > > >
> > > > > > Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
> > > > > >
> > > > > > Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles
nao
> > > > >estejam
> > > > >em
> > > > > > uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE
dois
> > >deles.
> > > > > >
> > > > > > OU SEJA :
> > > > > >
> > > > > > Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de
> >forma
> > >que
> > > > >que
> > > > > > toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
> > > > > >
> > > > > > A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto,
de
> > >estar
> > > > >n'O
> > > > > > LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou
esta
> > > > > > generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever
> > >tamanha
> > > > >beleza
> > > > > > !
> > > > > >
> > > > > > Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia
> > >fazer
> > > > >algo
> > > > > > melhor.
> > > > > >
> > > > > > Um Grande Abraco a Todos !
> > > > > > Paulo Santa Rita
> > > > > > 4,1651,251202
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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- Re: [obm-l] Teorema de Silvester
  - From: Paulo Santa Rita
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