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Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Ola Claudio ! Acho que voce concorda comigo que o raciocinio que voce
desenvolveu para ver que, para qualquer "a" em X, 2 =< Ra < m, e bastante
elementar, certo ? Imagine o que ocorreria se em uma exposicao cientifica
nos fossemos obrigados a demonstrar explicitamente cada detalhe ...
Muito Provavelmente, o Conway supos isso evidente. O Livro a que me referi
tem esta beleza : voce precisa parar para ESTUDAR A DEMONSTRACAO : ele nao
perde tempo com detalhes mais ou menos faceis de perceber !
Tudo isso me faz lembrar um Prof de Analise que eu tive. Numa questao de 2
pontos ele tirou ( eu acho que a questao era : PROVE QUE FECHO(X)=PONTOS DE
ACUMULACAO DE X unido FRONTEIRA DE X ).4 duas vezes simplesmente porque ao
falar sobre uma sequencia eu coloquei "Xn" e nao (Xn). Mais adiante, numa
outra questao, como contra-exemplo da afirmacao "Toda sequencia que tem um
valor de aderencia e convergente" eu apresentei a sequencia 1,2,1,3,1,4,1,5,
... O Prof tirou .5 alegando que que era preciso provar que tal sequencia
nao e convergente ... ????
Bom, como eu ja conhecia um pouquinho de analise, o Prof era inflexivel e eu
ja havia lido e visto Grandes Mestres desta area, que evidentemente nao
perdem tempo com estas picuinhas, conclui que o melhor era deixa-lo perdido
em seu apego ( ou "a-te-pego" ? ) a um rigor improficuo.
Em sintese, acho suas demonstracoes validas e eu estava pensando se deveria
ou nao explicar porque 2 =< Ra < m, nao obstante estar mais inclinado a
supor que aqui na lista todos perceberiam com facilidade as razoes de tal
desigualdade.
O Conway admite outras evidencias, proseguindo ... se "a" nao esta em Ai
entao Ra >= |Ai|, onde Ai e o numero de elementos de Ai. Isso e realmente
evidente ou e preciso demonstrar ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,2125,010103
>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
>Date: Mon, 30 Dec 2002 14:50:42 -0200
>
>Caro Paulo:
>
>Ainda não descobri a solução mágica do Conway, mas discordo do
>"claramente"com o qual ele começa.
>
>" Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
>{1,2,...,M }, tal que "a" pertence a Ai. CLARAMENTE 2 =< Ra < M ..."
>
>Para mim, só é claro é que 1 <= Ra <= M, pois cada par (e portanto cada
>elemento de X) pertence a pelo menos um subconjunto e existem M
>subconjuntos.
>Deduzir que Ra >=2 e que Ra < M não é muito difícil, mas está longe de ser
>óbvio.
>
>Suponhamos que Ra = 1. Então "a" pertence a um único Ai, e portanto, todos
>os N - 1 pares que contém "a" têm de ser subconjuntos de Ai. Mas isso
>implicaria que todos os outros N - 1 elementos de X estariam também em Ai,
>ou seja Ai = X, em contradição à condição de ser Ai um subconjunto próprio
>de X.
>
>Assim, Ra >= 2.
Voce nao percebeu que e obvio que Ra >= 2 porque voce so olhou por um
angulo, o angulo acima que voce expos. O enunciado e claro quando afirma que
N > 2. Logo, ha ao menos 3 elementos, portanto, qualquer elemento de X
estara ao menos em dois pares e portanto, Ra >= 2.
>Suponhamos que Ra = M. Então, "a" pertence a todos os Ai. Neste caso, cada
>um dos outros N - 1 elementos de X deve pertencer a um subconjunto
>distinto.
>Caso contrário, tomando um elemento "b", distinto de "a" e que pertença a
>Aj
>e Ak (j<>k) formaremos o par {a,b}, o qual estará contido em Aj e Ak, em
>contradição à condição de cada par estar contido num único subconjunto.
>
>Mas se cada um dos outros N - 1 elementos de X pertence a um subconjunto
>distinto, teremos que M <= N-1, e cada subconjunto será da forma {a,x},
>onde
>x é um dos outros N - 1 elementos de X. Isso significa que, dados "b" e "c"
>diferentes de "a" e entre si, o par {b,c} não estará contido em nenhum dos
>Ai, em contradição à condição de cada par estar contido em algum (de fato,
>em exatamente um) subconjunto.
>
>Assim, Ra < M.
Mais uma vez, voce nao viu que e obvio porque so pensou de uma maneira ...
se para algum "a", "a" estivesse em todos os Ai entao tomando dois deles
{a,b} e {a,c) o par {b,c) estaria em algum Ai que teria "a", um absurdo pois
cada par esta EM UM UNICO SUBCONJUNTO.
>Concluindo, 2 <= Ra < M, e a demonstração de 1 linha do Conway vai se
>alongando...
>
>Do jeito que começa, esta demonstração do Conway lembra a demonstração - em
>uma frase - do Don Zagier que todo primo p = 1 (mod 4) pode ser expresso
>como soma de dois quadrados...curta mas com vários detalhes não totalmente
>óbvios. Aqui está ela:
>
>A involução no conjunto finito S = {(x,y,z) pertencentes a N^3 tais que x^2
>+4yz = p }, onde p é um número primo = 1 (mod 4) definida por:
>
> ( x+2z, z, y-x-z ) se x < y-z
> (x,y,z) ---> ( 2y-x, y, x-y+z ) se y-z < x < 2y
> ( x-2y, x-y+z, y ) se x > 2y
>
>tem exatamente um ponto fixo, de forma que S tem um número ímpar de
>elementos e a involução definida por:
>
> (x,y,z) ---> (x,z,y)
>
>também tem um ponto fixo.
>
>NOTAS:
>1. Uma involução em S, é uma função F : S --> S tal que para todo x em S,
>F(F(x)) = x.
>2. x é um ponto fixo de F <==> F(x) = x.
>
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, December 28, 2002 2:27 PM
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
>
>
>Ola Dudu e demais colegas
>desta lista ... OBM-L,
>
>E ai Dudu ? Tudo Legal ?
>Fico contente em ver voce participar da lista !
>
>Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando
>...
>
>A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer
>conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
>dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :
>
>Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
>{1,2,...,m }, tal que "a" pertence a Ai. Claramente 2 =< Ra < m ...
>
>Um Abraco
>Paulo Santa Rita
>7,1425,281202
>
>
>
>
>
>
> >From: "Eduardo Fischer" <sondudu@pannet.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> >Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200
> >
> >Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
> >mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
> >Fischer
> >
> >----- Original Message -----
> >From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
> >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> >
> >
> > > Ola Jose Francisco e demais
> > > colegas desta lista ... OBM-L,
> > >
> > > Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei
> >mais
> > > atento.
> > >
> > > A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
> >notacao
> > > semelhante. E necessario corrigir apenas :
> > >
> > > 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
> > > pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera
>vazio.
> > >
> > > 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
> > > perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
> > >
> > > 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima :
>pode
> > > haver mais de um !
> > >
> > > A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das
>coordenadas
> > > homogeneas.
> > >
> > > A generalizacao do Conway e a seguinte :
> > >
> > > Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am
> >subconjuntos
> > > proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
> > > precisamente um dos Ai. Entao M >= N.
> > >
> > > Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
> > > pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
> > >
> > > Um Abraco
> > > Paulo Santa Rita
> > > 5,0145,271202
> > >
> > > >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> > > >Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
> > > >
> > > >Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem
> >mais
> > > >longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e
> >chega
> > > >a uma contradição:
> > > >
> > > >Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os
> >pares
> >(
> > > >P
> > > >, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
> > > >pertencentes a "C").
> > > >
> > > >Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem
>a
> >uma
> > > >mesma reta.
> > > >
> > > >Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a
> >menor
> > > >possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
> > > >
> > > >Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver
>um
> > > >terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois
>destes
> > > >pontos estarão de um mesmo lado de P1.
> > > >
> > > >Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo
> >de P1
> > > >(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado
> >que Q
> > > >em relação a P1.
> > > >
> > > >Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será
> >menor
> > > >do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a
> >escolha
> > > >inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
> > > >colegas desta lista ... OBM-L,
> > >
> > > >
> > > >Curiosidade: Existe também o resultado dual:
> > > >Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam
> >por
> > > >um
> > > >mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
> > > >exatamente duas retas.
> > > >
> > > >Um abraço,
> > > >Claudio.
> > > >
> > > >----- Original Message -----
> > > >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
> > > >Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
> > > >
> > > >
> > > >Santa Rita,
> > > >
> > > >Não nos mate de curiosidade.
> > > >
> > > >Qual a demonstração de Conway?
> > > >
> > > >E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que
>não
> > > >serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
> > > >necessariamente breve - também a de Kelly.
> > > >
> > > >JF
> > > >
> > > >PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula:
>onde
> > > >está
> > > >"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N
> >(N>2)
> > > >pontos..."
> > > >
> > > >JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est
> >ória do
> > > >"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)
> > > >
> > > >----- Original Message -----
> > > >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
> > > >Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
> > > >
> > > >
> > > > > Ola Pessoal,
> > > > >
> > > > > Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo -
>cheguei
> >a
> > > >(...)
> > > > >
> > > > > Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
> > > > >
> > > > > Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao
> > > >estejam
> > > >em
> > > > > uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois
> >deles.
> > > > >
> > > > > OU SEJA :
> > > > >
> > > > > Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de
>forma
> >que
> > > >que
> > > > > toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
> > > > >
> > > > > A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de
> >estar
> > > >n'O
> > > > > LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> > > > > generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever
> >tamanha
> > > >beleza
> > > > > !
> > > > >
> > > > > Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia
> >fazer
> > > >algo
> > > > > melhor.
> > > > >
> > > > > Um Grande Abraco a Todos !
> > > > > Paulo Santa Rita
> > > > > 4,1651,251202
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