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Para minimizar a duração da jornada de (5,8) até
(-11/2,-3/2) o besouro deverá passar pela origem (0,0) gastando 7.57 unidades de
tempo.
Este é um problema clássico da física - o da
refração dos raios luminosos quando há mudança do meio por onde eles se
propagam. O belo arco-iris é o exemplo mais comum. Ele explica, também, porque a
piscina parece mais rasa do que na realidade é.
Diz a Lei da Refração (Lei de Snell):
n1 sin(theta1) = n2 sin(theta2)
onde
n1: índice de refração do meio onde está o raio
incidente
n2: índice de refração do meio onde está o raio
refratado
theta1: ângulo formado entre o raio incidente e a
normal à superfície de separação dos meios
theta2: ângulo formado entre o raio refratado
e a normal à superfície de separação dos meios
O índice de refração, por sua vez, é proporcional à
velocidade de propagação da luz (do som, do besouro, etc) no meio. Quer dizer,
quanto maior a velocidade de propagação, maior o índice de refração - no caso
presente, o índice de refração dos quadrantes 1,3 e 4 é o dobro do índice de
refração do quadrante 2.
Como o seno de um ângulo não pode ser maior do que
1, temos um problema quando alguma coisa vem de um meio rápido e entra num
meio lento. A partir de um certo ângulo de incidência - chamado ângulo crítico -
não mais existe refração (o raio não "entra" no outro meio) e sim reflexão (a
superfície de separação dos meios funciona com um espelho). Olhe a superfície -
calma - de um lago, de um ponto logo acima da superfície - V não vai ver o fundo
do lago, e sim o céu.
É fácil mostrar que arc sin (theta-crítico) = n2/n1
(no caso presente, theta-critico=30 graus).
É por causa desse ângulo crítico que o besouro tem
que evitar o quadrante 2. Se ele fosse em linha reta da origem para o destino, o
ângulo de incidência entre os quadrantes 1 e 2 seria 42 graus, maior que o
ângulo crítico, o que faria com o besouro "ricocheteasse" de volta para o
quadrante 1.
É claro que se pode provar isso matematicamente,
bastando armar as equações e ver que o percurso de tempo mínimo - se forçarmos o
besouro a entrar no quadrante 2 - vai ter que passar pelo reino dos complexos, o
que provavelmente mataria nosso pobre animal.
Como sou engenheiro, e vi pelo "jeitão" que o
ângulo de incidência estava muito grande, montei a função que dá o tempo que
queríamos minimizar - em função dos pontos em que a trajetória corta
os eixos "y" e "x" - e mandei o Mathematica traçar o mapa da mina.
Não deu outra: ele passa pela origem.
JF
PS: Quem quiser ver uma explicação da Lei de
Refração em linguagem bastante simples, vá até:
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