Re: [obm-l] O =?windows-1252?Q?mist=E9rio?= do 6174 e a irracionalidade de e^2

["A. C. Morgado" <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Title: Help

1) O problema 1 se encontra em Ingenuity in Mathematics, de Ross Honsberger.
Decepcionantemente, a prova eh bastante braçal. Na realidade, o resultado
vale desde que os 4 digitos nao sejam todos iguais (vale para 3343, por exemplo).
A linha da prova eh que apos a primeira subtraçao so ha 98(?) resultados
possiveis, apos a segunda subtraçao um numero menor ainda,..., apos a setima
o resultado so pode ser 6174.
A passagem mais inteligente da demonstraçao eh a primeira.

Cláudio (Prática) wrote:

001701c2a5d4$bcb00fe0$3300c57d@bovespa.com"> href=file://C:\WINDOWS\>

Dois Problemas:

 

1. Seja A um inteiro positivo < 10.000, formado por quatro algarismos distintos (possivelmente com o algarismo dos milhares igual a zero - por exemplo: 123 = 0123).

 

Considere a seguinte sequência:

 

X(1) = A

 

Para cada inteiro positivo n:  X(n+1) = H(n) - L(n)

onde:

H(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem decrescente;

L(n) = número formado pelos algarismos de X(n) em ordem crescente;

 

Prove que, qualquer que seja A (formado por algarismos distintos), existe um índice m, tal que se k >=m então X(k) = 6174. 

 

 

2. Existe uma demonstração simples da irracionalidade de e (base dos logaritmos naturais), baseada na identidade:

            infinito

e = SOMATÓRIO  ( 1 / n! )

             n = 0

A demostração é por contradição, onde a hipótese da racionalidade de e leva à conclusão de que existe um número inteiro entre 0 e 1.

 

Problema: Como usar a mesma idéia para se demonstrar a irracionalidade de e^2.

 

Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.

 

Um abraço,

Claudio Buffara.