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Caro Daniel:
Suponhamos que N = A0 + A1*10 + A2*10^2 + A3*10^3 +
...
Usando congruência mod 11 teremos:
N = A0 - A1 + A2 - A3 + ... = (A0 + A2 + ..)
- (A1 + A3 + .. ) = 11 - 7 = 4 (mod
11)
Agora, o expoente:
(10x+1)^18 = (10x)^18 + 18*(10x)^17
+ ...18*(10x) + 1 = 10y + 1, para um certo natural y.
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, se mdc(N,11) = 1,
N^10 = 1 (mod 11)
Como N = 4 (mod 11), temos que mdc(N,10) = 1 ==>
N^10 = 1 (mod 11) ==> N^(10y) = (N^10)^y = 1^y = 1 (mod 11)
==>
N^(10y+1) = N^(10y) * N = 1 * N = N = 4 (mod
11).
Assim, o resto da divisão é igual a 4.
Em geral, quando se quer calcular o resto da
divisão de A^B (ou mesmo, A^(B^C)) por algum número, é quase sempre necessário
usar o Pequeno Teorema de Fermat (se o número é primo), ou sua generalização, o
Teorema de Euler, que diz:
Se A e N são inteiros com N é positivo e mdc(A,N) =
1 então A^Phi(N) = 1 (mod N), onde Phi(N) é o número de inteiros positivos
menores do que N e primos com N.
Um abraço,
Claudio.
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